Continuité en un point ou sur un intervalle

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f définie sur un intervalle I et a \in I.

Continuité en un point. f est continue en a lorsque \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a). f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Intuitivement, on trace la courbe de f sur I sans lever le crayon.

Continuité des fonctions usuelles. Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur ensemble de définition), x \mapsto \sqrt{x}, x \mapsto |x|, \exp, \ln, \cos et \sin sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus.

Lien avec la dérivabilité (théorème). Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Attention : la réciproque est fausse. x \mapsto |x| est continue en 0 mais n'y est pas dérivable.

Continuité et suites (théorème du transfert). Si f est continue en \ell et si (u_n) tend vers \ell, alors f(u_n) \to f(\ell). C'est l'outil clé pour résoudre \ell = f(\ell) quand u_{n+1} = f(u_n) converge.

Image d'un segment. Si f est continue sur [a\,;b], alors f est bornée sur [a\,;b] et atteint son maximum et son minimum.

Formules à connaître

  • f continue en a \iff \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a).
  • Pour une fonction définie par morceaux, la continuité au point de raccord a exige l'égalité de la valeur et des deux limites latérales.
  • Prolongement par continuité en a : si \lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell (finie), on pose f(a) = \ell.

Méthodes type bac

1. Justifier une continuité : invoquer les opérations sur les fonctions continues (« somme, produit, quotient de fonctions continues »), sans calcul de limite si la fonction est usuelle. 2. Fonction définie par morceaux : la continuité est automatique sur l'intérieur de chaque morceau ; on n'étudie que les points de raccord en comparant valeur et limites latérales. 3. Forme indéterminée \frac{0}{0} : factoriser (polynômes) ou multiplier par la quantité conjuguée (racines) pour lever l'indétermination, puis prolonger par continuité.

Pièges fréquents

  • Confondre « limite existe » et « fonction continue » : si f(a) n'est pas défini ou diffère de la limite, f n'est pas continue en a.
  • Croire que continue \Rightarrow dérivable : c'est l'implication inverse qui est vraie.
  • Oublier de vérifier l'égalité de la valeur f(a) avec la limite, pas seulement l'égalité des deux limites latérales.

Pour l'épreuve

La continuité est presque toujours une étape avant le TVI : on l'établit pour pouvoir conclure à l'existence d'une solution d'équation. Rédige proprement « f est continue sur I comme … (somme, quotient, composée) de fonctions continues » : c'est une phrase attendue et rapide à écrire.