Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Le résultat central du chapitre relie le signe de la dérivée seconde à la convexité. Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I :
Si f''(x)\ge 0 pour tout x\in I, alors f est convexe sur I.
Si f''(x)\le 0 pour tout x\in I, alors f est concave sur I.
Ces équivalences se complètent par celle du chapitre précédent : f convexe \iff f' croissante \iff f''\ge 0 \iff courbe au-dessus de ses tangentes.
Formules à connaître
f convexe sur I \iff f''\ge 0 sur I.
f concave sur I \iff f''\le 0 sur I.
Équation de la tangente en a : y=f(a)+f'(a)(x-a). Pour f convexe : f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a).
Inégalités de référence : e^x\ge x+1 (convexité de \exp) et \ln(x)\le x-1 pour x>0 (concavité de \ln).
Méthodes type bac
Étudier la convexité : calculer f'', factoriser, dresser un tableau de signe. f est convexe là où f''>0, concave là où f''<0.
Démontrer une inégalité par convexité : montrer que f''\ge 0 (donc f convexe), écrire la tangente en un point bien choisi, puis conclure « la courbe est au-dessus de sa tangente ».
Relier variation et convexité : un même exercice demande souvent le tableau de variation (signe de f') puis le tableau de convexité (signe de f'').
Exemple détaillé : pour f(x)=x^4-6x^2+5, on calcule f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1). Le tableau de signe donne f''>0 pour x<-1 et x>1 (convexe), f''<0 sur ]-1\,;1[ (concave). La courbe possède donc deux points d'inflexion, d'abscisses -1 et 1.
Pièges fréquents
Confondre f' et f'' : le signe de f' donne les variations, celui de f'' donne la convexité. Une fonction peut être croissante et concave, ou décroissante et convexe.
Croire qu'un point où f''(x)=0 est forcément un point d'inflexion : il faut un changement de signe de f'' (voir chapitre suivant). Contre-exemple : x\mapsto x^4 avec f''(0)=0 mais f''\ge 0 partout.
Oublier que l'hypothèse doit porter sur tout x de l'intervalle I : un seul point où f'' change de signe casse la convexité globale.
Inverser le sens des inégalités de référence : c'est e^x\ge x+1 (exp convexe) et \ln(x)\le x-1 (ln concave).
Pour l'épreuve
C'est un classique du bac : « étudier la convexité de f » signifie calculer f'' et étudier son signe. La démonstration d'inégalité par convexité (courbe au-dessus de la tangente pour une fonction convexe) tombe très régulièrement, notamment e^x\ge x+1. Rédaction attendue : justifier f''\ge 0, donc f convexe, donc courbe au-dessus de la tangente en un point bien choisi, puis traduire en inégalité. Bien distinguer le tableau de variation (signe de f') du tableau de convexité (signe de f''), souvent demandés l'un après l'autre.