Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Dans un repere \left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right), les coordonnees d'un vecteur sont les coefficients de sa decomposition sur la base. Pour deux points A et B, le vecteur \vec{AB} a pour coordonnees la difference des coordonnees : \vec{AB}\,(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A).
Les operations vectorielles se traduisent simplement en coordonnees : on additionne et on multiplie composante par composante. La colinearite de deux vecteurs se lit sur la proportionnalite de leurs coordonnees.
Calculer un vecteur et un point image. Difference pour \vec{AB}, somme pour retrouver un point depuis un vecteur.
Determiner un parametre pour la colinearite. Trouver le coefficient k sur les coordonnees connues, puis l'imposer sur la coordonnee inconnue.
Trouver un centre. Le centre d'une face ou d'un parallelogramme est le milieu d'une diagonale : moyenne des coordonnees de deux sommets opposes.
Soit A\,(2\,;1\,;-1), \vec{u}=\vec{AB} avec B\,(5\,;-1\,;0), donc \vec{u}=(3\,;-2\,;1). On cherche le point E tel que \vec{AE}=2\vec{u} : \vec{AE}=(6\,;-4\,;2), d'ou E=A+\vec{AE}=(2+6\,;1-4\,;-1+2)=(8\,;-3\,;1). Remarque la difference de nature : \vec{u} est un vecteur (une difference de coordonnees), E est un point (une somme point plus vecteur). Confondre ces deux operations est l'erreur la plus frequente du debutant. Garde toujours en tete : difference de deux points donne un vecteur, point plus vecteur donne un point.
Les calculs de coordonnees sont la base technique de tout le chapitre espace. Sois rigoureux sur les signes (le piege classique des coordonnees negatives) et garde les fractions exactes pour les milieux et les centres. La distinction point / vecteur est essentielle : on additionne un vecteur a un point pour obtenir un point, jamais deux points entre eux. Pour finir, insiste sur la distinction entre points et vecteurs, qui structure tout le calcul de coordonnees. Un vecteur encode un deplacement, un point une position ; on passe de l'un a l'autre en ajoutant ou en retranchant des coordonnees. Maitriser ce va-et-vient evite la grande majorite des erreurs de debut d'exercice et donne une base solide pour aborder les chapitres de distance et de projete orthogonal.