Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Trouver les coordonnees du point d'intersection d'une droite et d'un plan est un calcul direct des que la droite est donnee sous forme parametrique et le plan sous forme cartesienne. On injecte les expressions x(t), y(t), z(t) de la droite dans l'equation ax+by+cz+d=0 du plan. On obtient une equation a une seule inconnue t.
Trois cas se presentent selon cette equation. Si elle admet une solution unique, la droite est secante au plan : on calcule le point. Si elle est impossible (du type 0=k avec k\neq 0), la droite est strictement parallele au plan. Si elle est une identite (0=0), tous les points de la droite sont dans le plan : la droite est incluse.
Calculer le point d'intersection. Parametrer la droite si besoin, substituer dans l'equation du plan, resoudre en t, puis remplacer pour obtenir les coordonnees.
Discuter la position. Selon que l'equation en t a une, zero ou une infinite de solutions, conclure secante, strictement parallele ou incluse.
Localiser le point sur un segment. Comparer \vec{AI} a un vecteur de reference (par exemple \vec{AG}) pour situer I comme une fraction du segment.
Soit d : x=1+2t, y=-t, z=3+t et \mathcal{P} : x+y+z-7=0. On substitue : (1+2t)+(-t)+(3+t)-7=0 donne 2t-3=0 soit t=\dfrac{3}{2}. Une solution unique : la droite est secante. Le point est x=1+3=4, y=-\dfrac{3}{2}, z=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}, soit \left(4\,;-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{9}{2}\right). Si l'equation en t avait donne 0=k avec k non nul, la droite aurait ete strictement parallele ; si elle avait donne 0=0, la droite aurait ete incluse. Ces trois issues resument toute la discussion droite-plan et doivent etre maitrisees.
Ce calcul est l'un des plus rentables du theme car systematique. Le piege est uniquement calculatoire : developpe lentement la substitution, regroupe les termes en t, isole t. Reinjecte ensuite pour les coordonnees et garde les fractions exactes. Pour situer le point sur un segment, la relation \vec{AI}=k\vec{AG} donne immediatement la fraction recherchee. Pour finir, ce calcul d'intersection est l'un des plus surs du theme, car il se ramene toujours a une equation a une seule inconnue. Le seul vrai risque est l'erreur d'arithmetique dans la substitution : developpe terme a terme et regroupe soigneusement les coefficients du parametre. Une fois le parametre trouve, n'oublie pas de revenir aux coordonnees du point, qui sont generalement ce que l'enonce reclame vraiment.