Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Corollaire du TVI. Si f est continue et strictement monotone sur [a\,;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a\,;b].

Extension aux intervalles ouverts ou infinis. Si f est continue et strictement monotone sur ]a\,;b[ (avec a, b éventuellement infinis), de limites L_a et L_b aux bornes, alors tout réel k strictement compris entre L_a et L_b possède un unique antécédent par f.

La différence essentielle avec le TVI brut : l'ajout de la stricte monotonie transforme l'existence en existence et unicité. Une fonction continue strictement monotone sur I réalise une bijection de I sur f(I).

_Figure : f continue et strictement croissante sur [a ; b], la droite y = k coupe la courbe en un unique point d'abscisse α._

Formules à connaître

  • f strictement croissante \iff f'(x) > 0 sur l'intervalle (sauf en des points isolés).
  • Sur un intervalle de monotonie, l'équation f(x) = k a une solution \iff k est entre les valeurs (ou limites) aux extrémités.
  • Une fonction continue strictement monotone est une bijection de I sur f(I).

Méthodes type bac

1. Existence et unicité d'une solution : justifier la continuité, puis la stricte monotonie via le signe de f', vérifier que k est compris entre les valeurs (ou limites) aux extrémités, et conclure « par le corollaire du TVI, l'équation f(x) = k admet une unique solution sur l'intervalle ». 2. Nombre de solutions de f(x) = k : dresser le tableau de variations complet (avec les limites aux bornes), puis compter sur chaque branche monotone combien de fois la valeur k est atteinte. La discussion dépend souvent de la position de k par rapport aux extremums locaux. 3. Encadrement de \alpha : une fois l'unicité acquise, effectuer un balayage à la calculatrice jusqu'au changement de signe à l'amplitude voulue (dixième, centième), en indiquant les deux valeurs encadrantes.

_Figure : tableau de variations d'une fonction strictement croissante, la valeur k est atteinte une seule fois, en α._

Pièges fréquents

  • Oublier la stricte monotonie et affirmer l'unicité avec le seul TVI : c'est la monotonie qui garantit qu'il n'y a pas deux solutions.
  • Sur une borne ouverte ou infinie, écrire f(a) au lieu de la limite : il faut utiliser \lim aux bornes infinies ou interdites du domaine.
  • Inégalité large contre stricte : si k vaut exactement une valeur extrémale (un extremum local), recompter prudemment les solutions, car l'extremum peut être atteint une seule fois.
  • Confondre nombre de solutions et nombre d'intervalles de monotonie : sur un intervalle donné, f(x) = k a une solution seulement si k y est effectivement atteint.

Pour l'épreuve

Question quasi systématique : « Montrer que f(x) = k admet une unique solution \alpha et en donner un encadrement. » Rédige en deux temps : d'abord continuité et stricte monotonie sur l'intervalle, avec k compris entre les limites, ce qui donne l'unique solution par le corollaire ; ensuite un balayage à la calculatrice pour l'encadrement, en exhibant le changement de signe. Le tableau de variations reste l'outil de référence pour compter les solutions multiples : chaque branche monotone qui « franchit » la hauteur y = k fournit exactement une solution. Pense à relier ce corollaire à la notion de bijection : une fonction continue strictement monotone réalise une bijection de I sur f(I), ce qui justifie l'existence et l'unicité de l'antécédent.