Définition de la dérivée

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Nombre dérivé. Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant a. f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement \frac{f(a+h) - f(a)}{h} admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f'(a). On peut aussi écrire f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.

Interprétation. f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a : c'est la pente limite des sécantes.

Dérivabilité et continuité (théorème). Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse : x \mapsto |x| est continue mais non dérivable en 0.

Dérivée à gauche / à droite. f est dérivable en a si et seulement si les taux d'accroissement à gauche et à droite admettent une même limite finie. Si elles diffèrent : point anguleux. Si l'une est infinie : tangente verticale (cas de \sqrt{x} en 0).

Formules à connaître

  • f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.
  • \big(\sqrt{x}\big)' en a > 0 vaut \dfrac{1}{2\sqrt{a}} ; non dérivable en 0.
  • \left(\dfrac{1}{x}\right)' en a \neq 0 vaut -\dfrac{1}{a^2}.

Méthodes type bac

1. Calcul par la définition : écrire le taux d'accroissement, le simplifier (développement pour un polynôme, factorisation, ou multiplication par la quantité conjuguée pour une racine), éliminer le h au dénominateur, puis passer à la limite quand h \to 0. 2. Étude de dérivabilité en un point de raccord : calculer séparément la limite du taux à gauche et à droite ; la fonction est dérivable au point si et seulement si ces deux limites sont finies et égales. 3. Continuité et dérivabilité d'une fonction par morceaux : la continuité au raccord fixe une première relation entre les paramètres, l'égalité des dérivées latérales en fixe une seconde ; le système donne les valeurs cherchées.

Pièges fréquents

  • Conclure « non dérivable » dès que la fonction est définie par morceaux : il faut comparer les deux limites latérales, qui peuvent parfaitement coïncider.
  • Oublier que dérivable \Rightarrow continue, mais que la réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (point anguleux ou tangente verticale).
  • Diviser par h sans avoir simplifié : la forme indéterminée \frac{0}{0} doit d'abord être levée par factorisation ou quantité conjuguée.
  • Confondre tangente verticale (limite du taux infinie, donc non dérivable) et tangente horizontale (nombre dérivé nul, donc parfaitement dérivable).

Pour l'épreuve

Le calcul d'un nombre dérivé par la définition est rare en exercice direct, mais il fonde toute la dérivation et apparaît dans les démonstrations exigibles (dérivée de x^2, de \sqrt{x}, de \frac{1}{x}). La question type bac la plus fréquente est l'étude de dérivabilité d'une fonction définie par morceaux : on établit d'abord la continuité au raccord (une relation entre les paramètres), puis on compare les dérivées à gauche et à droite (une seconde relation). Rédige proprement chaque limite latérale et indique explicitement la conclusion. Rappelle-toi enfin que le nombre dérivé est un coefficient directeur : ce sens géométrique est souvent réinvesti dans la question suivante sur la tangente.