Définition de la fonction logarithme népérien

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction logarithme népérien, notée \ln, est définie comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Comme \exp est continue et strictement croissante de \mathbb{R} sur ]0\ ;+\infty[, elle admet une réciproque définie sur ]0\ ;+\infty[ : c'est \ln.

Pour tout réel a > 0 et tout réel b : \ln a = b \iff a = e^{b}.

Deux égalités fondamentales en découlent : e^{\ln x} = x \quad (x > 0), \qquad \ln(e^{x}) = x \quad (x \in \mathbb{R}).

Dans un repère orthonormé, les courbes de \ln et de \exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x (première bissectrice).

Formules à connaître

  • \ln 1 = 0 et \ln e = 1.
  • \ln(e^{n}) = n et e^{\ln a} = a pour a > 0.
  • \ln est strictement croissante sur ]0\ ;+\infty[ : pour a, b > 0, \ln a = \ln b \iff a = b et \ln a < \ln b \iff a < b.
  • Signe : \ln x < 0 sur ]0\ ;1[, \ln 1 = 0, \ln x > 0 sur ]1\ ;+\infty[.

Méthodes type bac

Résoudre e^{x} = k. Si k > 0, la solution est x = \ln k. Si k \leqslant 0, pas de solution (car e^{x} > 0).

Résoudre \ln x = k. La solution unique est x = e^{k}, automatiquement positive.

Résoudre une équation avec \ln. On détermine d'abord les conditions d'existence (chaque argument du \ln doit être strictement positif), on résout, puis on vérifie que les solutions appartiennent à l'ensemble de définition. Exemple : \ln(2x-1) = \ln(x+3) exige x > \tfrac{1}{2}, puis l'injectivité donne 2x - 1 = x + 3, soit x = 4, valeur acceptable.

Modèle exponentiel. Pour une croissance N(t) = N_0\,e^{kt}, le temps pour atteindre une valeur V se trouve en isolant l'exponentielle puis en passant au \ln : e^{kt} = \tfrac{V}{N_0} donne t = \tfrac{1}{k}\ln\!\left(\tfrac{V}{N_0}\right).

Pièges fréquents

  • \ln n'est définie que pour des arguments strictement positifs : ne jamais écrire \ln 0 ni \ln(\text{nombre négatif}).
  • Oublier les conditions d'existence et garder une solution interdite.
  • Confondre \ln(e^{x}) = x avec une simplification valable pour e^{x} négatif : il n'y en a pas, e^{x} est toujours > 0.
  • Penser que e^{x} = k a une solution pour k \leqslant 0.

Pour l'épreuve

Connaître par cœur \ln 1 = 0, \ln e = 1, et les deux relations de réciprocité. Beaucoup de questions de début d'exercice se règlent en une ligne avec « \ln a = b \iff a = e^b ». Toujours écrire l'ensemble de définition d'une équation logarithmique avant de résoudre : c'est souvent un point du barème.