Définitions et généralités : les différents modes de génération

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une suite numérique (u_n) est une fonction définie sur \mathbb{N} (ou une partie \{n_0, n_0+1, \dots\}) qui à chaque entier n associe un réel noté u_n, le terme de rang n. Il existe plusieurs façons de générer une suite.

  • Forme explicite : u_n=f(n). Le terme se calcule directement à partir de l'indice. Exemple : u_n=3n-5 donne u_0=-5, u_4=7.
  • Forme récurrente : on donne u_0 (ou plusieurs termes initiaux) et une relation u_{n+1}=f(u_n). Exemple : u_0=2, u_{n+1}=2u_n+1.
  • Définition par un algorithme : une boucle qui actualise une variable. La boucle « pour k de 1 à n : u\leftarrow f(u) » réalise n applications de f, donc renvoie u_n.

Formules

  • Relation linéaire u_{n+1}=au_n+b : pour passer à l'explicite quand a\ne 1, on introduit le point fixe \ell=\dfrac{b}{1-a} (solution de \ell=a\ell+b). La suite auxiliaire v_n=u_n-\ell vérifie v_{n+1}=av_n : elle est géométrique de raison a, donc v_n=v_0\,a^n et u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n.
  • Pour une forme explicite u_n=f(n), tout terme s'obtient en une étape, ce qui est précieux pour les limites.

Méthodes type bac

  • Calculer les premiers termes d'une suite récurrente : appliquer la relation pas à pas en partant du terme initial.
  • Conjecturer une expression explicite : calculer u_0, u_1, u_2, u_3, repérer le motif, proposer u_n, puis le démontrer par récurrence.
  • Linéariser u_{n+1}=au_n+b : poser v_n=u_n-\ell avec \ell point fixe ; montrer que (v_n) est géométrique ; revenir à u_n.

Pièges

  • Ne pas confondre u_{n+1} (terme suivant) et u_n+1 (le terme plus 1).
  • Avec une suite récurrente, on ne peut pas sauter directement à u_{100} : il faut tous les termes intermédiaires (sauf si on a d'abord trouvé une forme explicite).
  • Vérifier l'indice de départ : une suite peut commencer à n=0 ou à n=1.

Détaillons la linéarisation sur un exemple complet. Soit u_0=3 et u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3. Le point fixe vérifie \ell=\dfrac{1}{2}\ell+3, soit \dfrac{1}{2}\ell=3, donc \ell=6. On pose v_n=u_n-6 ; alors v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac{1}{2}u_n+3-6=\dfrac{1}{2}(u_n-6)=\dfrac{1}{2}v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme v_0=3-6=-3, d'où v_n=-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n et finalement u_n=6-3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n. Cette écriture explicite permet ensuite de calculer n'importe quel terme et la limite (ici 6) sans récurrence.

Pour l'épreuve

La transformation d'une suite arithmético-géométrique en suite géométrique auxiliaire est un grand classique du sujet de bac : maîtrise le calcul du point fixe et la rédaction « on pose v_n=u_n-\ell, on montre que (v_n) est géométrique ». Sache aussi traduire un algorithme en relation de récurrence et réciproquement. Une suite donnée par une forme explicite se prête au calcul direct de tout terme ; une suite récurrente impose un parcours pas à pas, sauf à passer par une forme explicite. Vérifie systématiquement l'indice de départ (n=0 ou n=1) car il change les formules.