Définition géométrique de l'intégrale

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Définition géométrique de l'intégrale

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a\,;b]. On appelle intégrale de f entre a et b, notée \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses, et les droites verticales x = a et x = b.

Unité d'aire (u.a.). Dans un repère orthogonal (O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}), une u.a. est l'aire du rectangle de côtés \vec{\imath} et \vec{\jmath}. Si \|\vec{\imath}\| = 2 cm et \|\vec{\jmath}\| = 3 cm, alors 1 u.a. = 6 cm².

Cas d'une fonction négative. Si f \leq 0 sur [a\,;b], alors \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq 0 et \left|\int_a^b f\right| est l'aire du domaine entre \mathcal{C}_f et l'axe.

Conventions. \int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0, et l'on étend la notation à a > b par \int_a^b f = -\int_b^a f.

Approche par les rectangles. On découpe [a\,;b] en n sous-intervalles de même largeur. La somme des aires des rectangles « inférieurs » minore l'aire, celle des rectangles « supérieurs » la majore. Quand n \to +\infty, les deux sommes convergent vers \int_a^b f.

Formules à connaître

  • Aire d'un rectangle : \int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a).
  • Aire d'un trapèze (fonction affine) : \dfrac{(\text{petite base} + \text{grande base})}{2}\times \text{hauteur}.
  • Demi-disque de rayon r : \dfrac{1}{2}\pi r^2.

Méthodes type bac

1. Reconnaître une figure géométrique (rectangle, triangle, trapèze, demi-cercle) pour calculer l'intégrale sans primitive. 2. Exploiter la symétrie : pour f paire, \int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f. 3. Encadrer par des rectangles quand on demande un encadrement numérique. 4. Convertir en cm² en multipliant par la valeur d'une u.a. si l'énoncé le réclame.

Illustrons l'encadrement par les rectangles sur f(x) = x^2 et [0\,;1] avec un pas de \frac14. Les hauteurs prises à gauche donnent une somme inférieure de 0{,}21875 ; les hauteurs prises à droite donnent une somme supérieure de 0{,}46875. On en déduit 0{,}21875 \leq \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \leq 0{,}46875. La valeur exacte \frac13 \approx 0{,}333 est bien dans cet intervalle, qui se resserre quand le pas diminue : c'est l'idée même de l'intégrale comme limite de sommes d'aires de rectangles.

Pièges fréquents

  • Une intégrale n'est une aire que si f \geq 0 ; sinon elle peut être négative et il faut prendre l'opposé pour obtenir une aire.
  • Confondre u.a. et cm² : il faut tenir compte des échelles du repère, une u.a. valant \|\vec{\imath}\|\times\|\vec{\jmath}\|.
  • Oublier que f doit être continue sur [a\,;b] pour que l'intégrale soit définie ainsi.
  • Sur un intervalle où f change de signe, l'intégrale donne une aire algébrique : elle ne mesure pas l'aire géométrique totale tant qu'on n'a pas découpé selon le signe.

Pour l'épreuve

La définition géométrique justifie la positivité et la relation de Chasles vues ensuite. Sache l'énoncer proprement et calculer des intégrales simples par des aires de figures usuelles : rectangle, triangle, trapèze, demi-disque. Le repérage d'une symétrie (fonction paire ou impaire) ou d'une figure connue fait souvent gagner un calcul entier. Garde en tête que cette définition est le fondement de tout le chapitre : c'est elle qui relie l'aire au calcul algébrique de primitives via le théorème fondamental.