Définitions et généralités : sens de variation d'une suite
Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Soit (u_n) une suite réelle. On étudie son sens de variation (monotonie).
(u_n) est croissante si, pour tout n, u_{n+1}\ge u_n ; strictement croissante si u_{n+1}>u_n.
(u_n) est décroissante si u_{n+1}\le u_n pour tout n ; strictement décroissante si u_{n+1}<u_n.
(u_n) est monotone si elle est croissante (pour tout n) ou décroissante (pour tout n).
(u_n) est constante si u_{n+1}=u_n pour tout n.
Formules
Trois méthodes pour déterminer le sens de variation :
1. Signe de la différence u_{n+1}-u_n : universelle, valable pour toutes les suites.
2. Comparaison du rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1 : valable uniquement si tous les termes sont strictement positifs.
3. Fonction associée : si u_n=f(n) et f est monotone sur [0\,;+\infty[, (u_n) a le même sens de variation que f (on étudie le signe de f').
Méthodes type bac
Différence : calculer u_{n+1}-u_n, simplifier, déterminer son signe, conclure. Pour les suites définies par récurrence u_{n+1}=u_n+g(n), la différence vaut directement g(n).
Rapport : pour les suites du type u_n=\dfrac{a^n}{\dots} avec termes positifs, calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et comparer à 1.
Fonction : utile pour u_n=f(n) avec f dérivable ; attention, la fonction peut changer de variation, la suite aussi.
Pièges
La méthode du rapport n'est valable que pour des termes strictement positifs.
Une suite peut n'être monotone qu'à partir d'un certain rang : toujours examiner les premiers termes.
u_{n+1}-u_n>0 pour quelques valeurs de n ne suffit pas : il faut le prouver pour tout n.
Pour l'épreuve
Choisis la bonne méthode : différence pour les suites « additives », rapport pour les suites « multiplicatives » à termes positifs (souvent géométriques ou avec des puissances). Rédige proprement le signe obtenu et conclus explicitement (« donc (u_n) est strictement croissante »).