Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si, pour tout n, u_{n+1}=u_n+r. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel r.
Caractérisation : (u_n) est arithmétique \iff u_{n+1}-u_n est constant (égal à r).
Formules
Terme général : u_n=u_0+n\,r (départ à 0) ou u_n=u_1+(n-1)\,r (départ à 1). Formule générale : u_n=u_p+(n-p)\,r.
Somme de termes consécutifs : \dfrac{\text{nb de termes}\times(\text{1er}+\text{dernier})}{2}.
Somme des premiers entiers : 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
Méthodes type bac
Prouver qu'une suite est arithmétique : calculer u_{n+1}-u_n et montrer que le résultat ne dépend pas de n.
Retrouver raison et premier terme à partir de deux termes : utiliser u_n-u_p=(n-p)r pour isoler r, puis revenir à u_0.
Calculer une somme : compter soigneusement le nombre de termes (de u_0 à u_{20} il y a 21 termes), identifier premier et dernier, appliquer la formule.
Pièges
Le nombre de termes de u_p à u_n est n-p+1, pas n-p.
Bien distinguer le départ à u_0 (u_n=u_0+nr) du départ à u_1 (u_n=u_1+(n-1)r).
Une suite arithmétique n'est jamais géométrique (sauf cas dégénéré constant), et réciproquement : ne pas mélanger les formules.
Pour l'épreuve
Les suites arithmétiques modélisent des évolutions « linéaires » (un montant fixe ajouté chaque période). Le calcul de somme est l'attendu phare : compte bien les termes et applique la formule moyenne \times nombre de termes. Sache passer de la forme récurrente u_{n+1}=u_n+r à la forme explicite u_n=u_0+nr.