Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Une suite (u_n) est géométrique de raison q si, pour tout n, u_{n+1}=q\,u_n. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel q.
Caractérisation (termes non nuls) : (u_n) est géométrique \iff le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant (égal à q).
Formules
Terme général : u_n=u_0\,q^{\,n} ou u_n=u_1\,q^{\,n-1}, et u_n=u_p\,q^{\,n-p}.
Somme (pour q\ne 1) : u_0+\dots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}, c'est-à-dire premier terme \times\dfrac{1-q^{\,\text{nombre de termes}}}{1-q}.
Somme de référence : 1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.
Méthodes type bac
Prouver géométrique : calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et montrer qu'il ne dépend pas de n.
Trouver q avec deux termes : \dfrac{u_n}{u_p}=q^{\,n-p}.
Calculer une somme : repérer premier terme et raison, compter les termes, appliquer u_0\dfrac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}.
Modéliser un pourcentage : raison q=1+\dfrac{t}{100} (hausse) ou 1-\dfrac{t}{100} (baisse).
Pièges
L'exposant dans la somme est le nombre de termes, pas le dernier indice : de u_0 à u_n il y a n+1 termes, d'où q^{\,n+1}.
Toujours grouper les exposants : écrire \left(\dfrac{1}{2}\right)^n et non \dfrac{1}{2}^n.
La formule de somme suppose q\ne 1 ; si q=1 la somme vaut simplement (\text{nb termes})\times u_0.
Pour l'épreuve
Les suites géométriques modélisent les évolutions à taux constant (intérêts, populations). La formule de somme est incontournable : entraîne-toi à compter les termes et à grouper l'exposant. Le cas q=1{,}04 (hausse de 4\%) est un grand classique des annales.