Définitions et généralités : vocabulaire sur les suites
Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
On rassemble ici le vocabulaire des suites.
(u_n) est majorée s'il existe M tel que u_n\le M pour tout n (M est un majorant).
(u_n) est minorée s'il existe m tel que u_n\ge m pour tout n (m est un minorant).
(u_n) est bornée si elle est majorée et minorée : m\le u_n\le M.
(u_n) converge si elle admet une limite finie ; sinon elle diverge (limite infinie ou absence de limite).
(u_n) est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.
Un majorant (ou minorant) n'est jamais unique : si M majore, tout réel plus grand majore aussi.
Formules
Réécriture utile : beaucoup de suites quotients s'écrivent u_n=a\pm\dfrac{b}{n+c}. Comme \dfrac{b}{n+c}>0 et décroît vers 0, on obtient immédiatement un encadrement. Par exemple u_n=3-\dfrac{5}{n+2} vérifie \dfrac{1}{2}\le u_n<3.
Méthodes type bac
Montrer qu'une suite est majorée/minorée : isoler une partie de signe constant (souvent \dfrac{b}{n+c}) et encadrer.
Montrer qu'une suite est bornée par récurrence : prouver m\le u_n\le M par récurrence pour une suite définie par u_{n+1}=f(u_n), en exploitant la monotonie de f sur [m\,;M].
Reconnaître une suite non monotone bornée : par exemple u_n=(-1)^n+2 alterne entre 1 et 3.
Pièges
« Majorée » ne veut pas dire « atteint son majorant » : u_n=4-\dfrac{1}{n+1} est majorée par 4 mais ne vaut jamais 4.
Une suite bornée n'est pas forcément convergente (ex. (-1)^n).
Une suite croissante peut très bien être majorée (et alors elle converge, cf. théorème de convergence monotone).
Pour l'épreuve
Le bac demande très souvent de montrer qu'une suite récurrente est bornée par récurrence avant d'établir sa convergence. Soigne l'hérédité : pars de m\le u_n\le M, applique f croissante, conclus m\le u_{n+1}\le M. Le vocabulaire « majorée / minorée / bornée / convergente » doit être employé avec précision.