Dérivée d'une fonction composée

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Théorème (dérivée d'une composée). Si u est dérivable en x et v dérivable en u(x), alors v \circ u est dérivable en x et (v \circ u)'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big). On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » et on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Cas usuels (à connaître par cœur). \big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{n-1}, \quad \big(\sqrt{u}\big)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, \quad \big(e^u\big)' = u'\,e^u, \big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}, \quad \left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}.

Formules à connaître

  • Forme générale : \big(v(u)\big)' = u' \cdot v'(u).
  • Linéaire interne : \big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b), d'où (e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b} et \big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b).
  • Le facteur u' commande souvent le signe de f' : les quantités e^u, u^2 et 2\sqrt{u} sont toujours positives.

Méthodes type bac

1. Décomposer : repérer la fonction externe et la fonction interne u, puis calculer u'. 2. Appliquer la bonne formule parmi u^n, \sqrt{u}, e^u, \ln u, \dfrac{1}{u}, sans oublier le facteur u'. 3. Étudier le signe de f' : factoriser en isolant les facteurs toujours positifs (e^u > 0, u^2 > 0, 2\sqrt{u} > 0) ; le signe de f' ne dépend alors que du facteur restant, que l'on étudie pour dresser le tableau de variations. 4. Conclure sur les extremums : repérer les valeurs où f' s'annule en changeant de signe et calculer les valeurs exactes correspondantes de f.

Pièges fréquents

  • Oublier le facteur u' : écrire (e^{2x})' = e^{2x} au lieu de 2e^{2x} est l'erreur la plus classique.
  • Mauvaise identification de u : dans \sqrt{x^2 + 1}, l'expression interne est x^2 + 1, pas x.
  • Pour \ln u et \sqrt{u}, ne pas vérifier que u > 0 sur le domaine d'étude avant de dériver.
  • Confondre u' e^u et u'^2 e^u : la formule ne fait intervenir u' qu'une seule fois en facteur.

Pour l'épreuve

C'est l'outil central des études de fonctions de Terminale, car presque toutes les fonctions « intéressantes » du programme sont des composées : e^{-x^2}, \ln(x^2 + 1), \sqrt{x^2 + 1}, (2x+1)^4… Mémorise les cinq formules dérivées composées (u^n, \sqrt{u}, e^u, \ln u, \frac{1}{u}) et adopte le réflexe « facteur positif mis en évidence » pour déterminer le signe de f' sans erreur. Un calcul de f' propre et factorisé vaut beaucoup de points et conditionne tout le reste de l'exercice : variations, extremums, position relative, application du TVI. Pense également à la dérivée linéaire interne \big(f(ax+b)\big)' = a f'(ax+b), très utile pour les fonctions du type e^{ax+b} rencontrées dans les équations différentielles et les modèles d'évolution.