Dérivée seconde

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée f'. Si f' est elle-même dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f la fonction f'' = (f')'. On dit alors que f est deux fois dérivable sur I. La dérivée seconde mesure la « variation de la pente » : c'est la dérivée du coefficient directeur des tangentes.

Notation : on écrit f'', ou parfois \dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} en physique.

Formules à connaître

Dérivées premières et secondes des fonctions usuelles :

  • f(x)=x^n : f'(x)=nx^{n-1}, f''(x)=n(n-1)x^{n-2}.
  • f(x)=e^x : f'(x)=e^x, f''(x)=e^x.
  • f(x)=\dfrac{1}{x} : f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}, f''(x)=\dfrac{2}{x^3}.
  • f(x)=\sqrt{x} : f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}.

Règles de dérivation utiles pour la seconde dérivée : produit (uv)'=u'v+uv', composée (e^{u})'=u'e^{u}.

Méthodes type bac

  • Calculer f'' : on dérive f pour obtenir f', puis on dérive de nouveau f'. Vérifier chaque étape avant de poursuivre.
  • Dériver deux fois un produit du type u(x)e^{x} : utiliser (u e^{x})'=(u'+u)e^{x}, puis recommencer ; on factorise systématiquement par e^x.
  • Interprétation physique : si x(t) est la position d'un mobile, x'(t) est sa vitesse et x''(t) son accélération.

Détail des règles de dérivation que l'on enchaîne deux fois :

  • Somme : (u+v)'=u'+v', donc (u+v)''=u''+v''.
  • Produit : (uv)'=u'v+uv', donc (uv)''=u''v+2u'v'+uv''.
  • Composée avec l'exponentielle : (e^{u})'=u'e^{u}, donc (e^{u})''=(u''+u'^2)e^{u}.

Cas concrets souvent rencontrés au bac : pour f(x)=ax^2+bx+c, on a f''(x)=2a (constante, signe de a). Pour un polynôme de degré 3, f'' est affine et change de signe une fois.

Méthodes type bac

  • Calculer f'' : on dérive f pour obtenir f', puis on dérive de nouveau f'. Vérifier chaque étape avant de poursuivre, et ne pas recopier f' par inattention.
  • Dériver deux fois un produit du type u(x)e^{x} : utiliser (u e^{x})'=(u'+u)e^{x}, puis recommencer sur (u'+u) ; on factorise systématiquement par e^x.
  • Interprétation physique : si x(t) est la position d'un mobile, x'(t) est sa vitesse v(t) et x''(t) son accélération a(t). Un changement de signe de l'accélération marque une phase où le mobile cesse d'accélérer pour décélérer.
  • Préparer la convexité : une fois f'' obtenue, on l'écrit sous forme factorisée pour que son étude de signe soit immédiate.

Pièges fréquents

  • Ne pas oublier qu'une dérivée de produit ou de composée fait apparaître de nouveaux termes à la deuxième dérivation ; recopier f' ne suffit pas.
  • Erreur de signe fréquente sur \dfrac{1}{x} : f'' est positive sur ]0\,;+\infty[ car x^3>0, alors que f' y est négative.
  • e^x ne s'annulant jamais, le signe de f''=v(x)e^{x} est entièrement donné par celui de v(x) : inutile de discuter le signe de l'exponentielle.
  • Confondre une dérivée seconde nulle (f''=0, fonction affine) avec une dérivée première nulle (f'=0, fonction constante).

Pour l'épreuve

La dérivée seconde est l'outil de la convexité : presque toujours, on la calcule pour ensuite étudier son signe. Soigner la factorisation (notamment par e^x) rend l'étude de signe immédiate. C'est aussi l'occasion de réviser toutes les règles de dérivation, qui sont mobilisées deux fois de suite.