Des démonstrations des cours sur les limites et suites monotones
Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Ce chapitre regroupe les démonstrations de cours exigibles sur les limites de suites. Elles reposent sur la traduction des définitions et sur l'inégalité de Bernoulli.
Définition de \lim u_n=+\infty : pour tout réel A, il existe un rang N tel que u_n>A dès que n\ge N.
Inégalité de Bernoulli : pour a>0 et tout n\in\mathbb{N}, (1+a)^n\ge 1+na.
Formules
Théorèmes démontrés ici :
1. Toute suite croissante non majorée tend vers +\infty.
2. Théorème de comparaison : u_n\ge v_n et v_n\to+\infty entraînent u_n\to+\infty.
3. Pour q>1, \lim q^n=+\infty (via Bernoulli avec q=1+a, a>0).
Méthodes type bac
Preuve d'une limite +\infty : commencer par « soit A un réel », exhiber un rang N, conclure « pour tout n\ge N, u_n>A ».
Récurrence de Bernoulli : init en n=0, hérédité en multipliant par (1+a)>0 et en jetant le terme positif na^2.
Limite de q^n (q>1) : poser q=1+a, minorer par Bernoulli, comparer.
Pièges
Dans une preuve de limite infinie, ne pas oublier d'introduire un réel A quelconque : c'est le point de départ obligé.
L'inégalité de Bernoulli requiert a>0 (ou au moins a\ge -1) : la signaler.
La croissance sert à propager u_n\ge u_N pour n\ge N : sans monotonie, l'argument tombe.
Pour l'épreuve
Ces démonstrations sont régulièrement demandées (« restituer une démonstration de cours »). Connais la trame « soit A réel... il existe N... pour n\ge N ». La preuve de \lim q^n=+\infty pour q>1 via Bernoulli est un grand classique : maîtrise l'enchaînement q=1+a\Rightarrow q^n\ge 1+na\Rightarrow+\infty.