Droites de l'espace

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Definitions et theoremes

Une droite de l'espace est entierement determinee par un point et un vecteur directeur non nul, ou de facon equivalente par deux points distincts. Si A et B sont distincts, \vec{AB} est un vecteur directeur de (AB).

Un point M appartient a la droite d passant par A de vecteur directeur \vec{u} si et seulement si \vec{AM} est colineaire a \vec{u}, c'est-a-dire s'il existe un reel t tel que \vec{AM}=t\vec{u}.

Deux droites sont paralleles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colineaires. Elles sont alors soit confondues (un point commun), soit strictement paralleles (aucun point commun).

Formules a connaitre

  • Vecteur directeur de (AB) : \vec{AB}\,(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A).
  • Colinearite de \vec{u}\,(a\,;b\,;c) et \vec{v}\,(a'\,;b'\,;c') : produits croises nuls ab'-a'b=0, ac'-a'c=0, bc'-b'c=0.
  • Appartenance : M\in d ssi \vec{AM}=t\vec{u}.

Methodes type bac

Tester l'appartenance d'un point a une droite. Calculer \vec{AM}, verifier qu'il est colineaire au vecteur directeur en cherchant un unique t valable sur les trois coordonnees.

Prouver un parallelisme. Comparer les vecteurs directeurs : s'ils sont colineaires, les droites sont paralleles ; verifier ensuite un point commun pour trancher confondues / strictement paralleles.

Trouver un point particulier. Parametrer M=A+t\vec{u} et imposer la condition demandee.

Pieges frequents

  • Conclure a la colinearite avec un seul rapport egal : il faut les trois.
  • Oublier qu'une coordonnee nulle dans \vec{u} force la coordonnee correspondante de tout vecteur colineaire a etre nulle aussi.
  • Confondre droites paralleles et droites coplanaires : deux droites peuvent etre coplanaires sans etre paralleles (secantes).

Exemple guide

Soit d passant par A\,(1\,;2\,;-1) de directeur \vec{u}\,(2\,;-1\,;3), et le point M\,(5\,;0\,;5). On calcule \vec{AM}=(4\,;-2\,;6). On cherche t tel que \vec{AM}=t\vec{u} : la premiere coordonnee donne 4=2t soit t=2 ; on verifie -2=-1\times 2 et 6=3\times 2, les deux sont vrais. Le meme t=2 convient pour les trois coordonnees, donc M appartient a d. Si une seule coordonnee avait donne une valeur de t differente, la conclusion aurait ete l'inverse. Cette rigueur sur l'unicite du parametre est le coeur du chapitre : un point n'est sur la droite que si un seul t marche pour les trois composantes a la fois.

Pour l'epreuve

Place-toi dans un repere adapte des que possible. Pour montrer qu'un point est sur une droite, le test de colinearite avec un parametre unique t est la methode la plus sure : si la valeur de t change d'une coordonnee a l'autre, le point n'est pas sur la droite. Garde les vecteurs directeurs les plus simples (divise par le PGCD) pour alleger les calculs.