Épreuve de Bernoulli

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : l'une appelée succès (de probabilité p), l'autre échec (de probabilité 1 - p). Le réel p, avec 0 \leqslant p \leqslant 1, est le paramètre de l'épreuve.

On lui associe souvent une variable indicatrice X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. Sa loi est : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

Espérance et variance de l'indicatrice. Pour cette variable : E(X) = p, \qquad V(X) = p(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

Formules à connaître

  • Paramètre : p = P(\text{succès}), q = 1 - p = P(\text{échec}).
  • Loi indicatrice : P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p.
  • E(X) = p.
  • V(X) = p(1-p), \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

Méthodes type bac

Reconnaître une épreuve de Bernoulli. On vérifie qu'il n'y a que deux issues (succès / échec). Toute expérience binaire (réussite/échec, pile/face, défectueux/conforme, malade/sain) en est une.

Définir clairement le succès. On choisit l'issue à laquelle on s'intéresse comme « succès » et on en lit la probabilité p. Attention : le « succès » peut être un événement défavorable au sens courant (par exemple « la pièce est défectueuse »).

Calculer E et V de l'indicatrice. On applique directement E(X) = p et V(X) = p(1-p).

Pièges fréquents

  • Plus de deux issues. Si l'expérience a trois issues ou plus (par exemple un dé non regroupé), ce n'est pas une épreuve de Bernoulli sans regroupement préalable.
  • Mal choisir p. Si on définit le succès comme « fonctionne » alors que l'énoncé donne la probabilité de panne, il faut prendre p = 1 - (\text{proba de panne}).
  • Confondre p et 1-p. Toujours préciser ce qu'est le succès avant de donner p.

Pour l'épreuve

L'épreuve de Bernoulli est la brique élémentaire : une expérience à deux issues. Énonce toujours en une phrase ce qu'est le « succès » et lis p avec soin. Retiens E(X) = p et V(X) = p(1-p) pour l'indicatrice : ces formules se généralisent à la loi binomiale (où E = np et V = np(1-p)). C'est de la répétition indépendante et identique d'épreuves de Bernoulli que naît le schéma de Bernoulli.

Beaucoup de situations concrètes se ramènent à une épreuve de Bernoulli après un regroupement d'issues : un dé à six faces devient une épreuve de Bernoulli dès qu'on regroupe certaines faces en « succès » et les autres en « échec ». Le travail consiste alors à calculer la probabilité du regroupement choisi. C'est pourquoi définir précisément le succès est la première étape de toute modélisation. Garde aussi à l'esprit que la variance p(1-p) est maximale lorsque l'incertitude est la plus grande, c'est-à-dire pour p = \tfrac{1}{2}, et qu'elle s'annule lorsque p = 0 ou p = 1, cas où le résultat est certain : cette lecture qualitative aide à vérifier la cohérence de tes calculs.