Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Tout plan de l'espace admet une equation cartesienne de la forme ax+by+cz+d=0, ou (a,b,c) n'est pas le triplet nul. Le vecteur \vec{n}\,(a\,;b\,;c) forme des coefficients est un vecteur normal du plan. Reciproquement, toute equation de cette forme decrit un plan dont \vec{n}\,(a\,;b\,;c) est normal.
La caracterisation geometrique est limpide : un point M\,(x\,;y\,;z) appartient au plan passant par A de normal \vec{n} si et seulement si \vec{AM}\cdot\vec{n}=0. En developpant, on retrouve a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0, soit ax+by+cz+d=0 avec d=-(ax_A+by_A+cz_A).
Ecrire l'equation a partir d'un point et d'un normal. Poser ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c) le normal, puis injecter le point pour trouver d.
Ecrire l'equation d'un plan defini par trois points. Former deux vecteurs \vec{AB}, \vec{AC}, determiner un normal par deux produits scalaires nuls, puis trouver d avec un point. Toujours verifier avec les deux autres points.
Tester une appartenance. Remplacer les coordonnees dans l'equation : le resultat doit etre nul.
On cherche l'equation du plan passant par A\,(1\,;2\,;-1) de normal \vec{n}\,(2\,;-1\,;3). L'equation est 2x-y+3z+d=0 ; on injecte A : 2(1)-2+3(-1)+d=0 donne 2-2-3+d=0 soit d=3. L'equation est donc 2x-y+3z+3=0. On verifie en reinjectant A : 2-2-3+3=0, correct. Ce controle par reinjection est gratuit et detecte immediatement une erreur de signe sur d, l'erreur la plus repandue. Le passage point plus normal vers equation est la manipulation la plus frequente du theme orthogonalite : elle doit etre rapide et fiable.
L'equation cartesienne est l'objet le plus manipule du theme : elle sert aux intersections, aux distances, aux projetes. La methode point + normal est ultra-rapide ; pour trois points, le detour par le normal est incontournable. Verifie toujours ton equation en y injectant tous les points imposes : c'est un controle gratuit qui evite les erreurs de signe. Pour finir, l'equation cartesienne est le format pivot du theme orthogonalite : c'est sur elle que reposent la distance point-plan, le projete orthogonal et l'etude des positions relatives. Sa determination est rapide des qu'on dispose d'un point et d'un normal. Prends l'habitude de verifier ton equation en y reinjectant tous les points imposes, car une erreur de signe sur la constante invalide tout le reste de l'exercice.