Équations de la forme y'=ay

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Équations de la forme y' = ay

Définitions et théorèmes

Théorème fondamental. Soit a un réel fixé. Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y' = ay sont exactement les fonctions y : x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}.

Unicité avec condition initiale. Pour tout couple (x_0, y_0), il existe une unique solution vérifiant y(x_0) = y_0 : c'est y(x) = y_0\,\mathrm{e}^{a(x - x_0)}. En particulier, la solution telle que y(0) = y_0 est y(x) = y_0\,\mathrm{e}^{ax}.

Interprétation. y' = ay traduit une vitesse de variation proportionnelle à la quantité y. C'est le modèle de la croissance/décroissance exponentielle : populations, capitaux, désintégration radioactive, refroidissement (avec ajustement).

Formules à connaître

  • y' = ay \Rightarrow y(x) = C\mathrm{e}^{ax}.
  • Condition y(0) = y_0 \Rightarrow y(x) = y_0\mathrm{e}^{ax}.
  • Temps de doublement (a > 0) : t = \dfrac{\ln 2}{a}.
  • Demi-vie (a = -k < 0) : t = \dfrac{\ln 2}{k}.

Méthodes type bac

1. Lire a directement (attention à mettre l'équation sous la forme y' = ay : diviser par le coefficient de y'). 2. Écrire la solution générale C\mathrm{e}^{ax}. 3. Déterminer C avec la condition initiale. 4. Résoudre y(x) = k en passant au logarithme : \mathrm{e}^{ax} = \frac{k}{C} \Rightarrow ax = \ln\frac{k}{C}. 5. Étudier variations et limites : y' = ay a le signe de a (si C > 0).

Exemple de demi-vie : un échantillon radioactif suit N'(t) = -k\,N(t), donc N(t) = N_0\mathrm{e}^{-kt}. Si la demi-vie est de 5 ans, alors N(5) = \frac{N_0}{2} donne \mathrm{e}^{-5k} = \frac12, d'où -5k = -\ln 2 et k = \frac{\ln 2}{5} \approx 0{,}139. Exemple de doublement : pour N'(t) = 0{,}2\,N(t) avec N(0) = 500, on a N(t) = 500\mathrm{e}^{0{,}2t}, et N(t) = 1000 \iff \mathrm{e}^{0{,}2t} = 2 \iff t = \frac{\ln 2}{0{,}2} \approx 3{,}47 h.

Pièges fréquents

  • Ne pas diviser par le coefficient de y' : pour 2y' = 6y, on a a = 3 (pas 6).
  • Confondre C (constante d'intégration) et y_0 (valeur initiale) quand x_0 \neq 0.
  • Erreur de signe avec a < 0 : la fonction décroît vers 0 en +\infty.
  • Oublier les hypothèses pour le passage au logarithme (la quantité doit être strictement positive).
  • Confondre temps de doublement (croissance) et demi-vie (décroissance).

Pour l'épreuve

C'est l'équation différentielle de base, omniprésente en modélisation : croissance de population, intérêts composés, désintégration radioactive. Sache donner la solution générale C\mathrm{e}^{ax} immédiatement, fixer C par la condition initiale, et résoudre les questions de temps de doublement ou de demi-vie via le logarithme. La forme y' = ay relie tout le chapitre à la fonction exponentielle, qui est l'unique solution non nulle à un facteur près.