Équations de la forme y'=ay+b

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Équations de la forme y' = ay + b

Définitions et théorèmes

Théorème. Soient a \neq 0 et b deux réels. Les solutions sur \mathbb{R} de y' = ay + b sont les fonctions y : x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}.

Principe (homogène + particulière). La solution générale est la somme : - de la solution générale de l'équation homogène y' = ay, soit C\mathrm{e}^{ax} ; - d'une solution particulière constante y_p = -\dfrac{b}{a} (obtenue en cherchant une solution constante : y' = 0 donne ay + b = 0).

Unicité. Avec une condition initiale y(x_0) = y_0, la solution est unique.

Comportement asymptotique. Si a < 0, alors \mathrm{e}^{ax} \to 0 en +\infty : toutes les solutions tendent vers la valeur d'équilibre -\dfrac{b}{a} (régime permanent). Si a > 0, elles divergent (sauf C = 0).

Formules à connaître

  • y' = ay + b \Rightarrow y(x) = C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a} (a \neq 0).
  • Solution d'équilibre : -\dfrac{b}{a}.
  • Newton : \theta(t) = (\theta_0 - \theta_a)\mathrm{e}^{-kt} + \theta_a.

Méthodes type bac

1. Identifier a et b après avoir mis l'équation sous la forme y' = ay + b. 2. Trouver la solution particulière constante -\dfrac{b}{a}. 3. Écrire la solution générale C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}. 4. Déterminer C par la condition initiale. 5. Étudier limite et variations ; interpréter l'équilibre dans le contexte (température ambiante, masse de saturation...).

Exemple de refroidissement : un objet à 80 °C plongé dans un milieu à 20 °C vérifie \theta' = -0{,}1\,\theta + 2 (forme y' = ay + b avec a = -0{,}1, b = 2). L'équilibre est -\frac{b}{a} = -\frac{2}{-0{,}1} = 20 °C, soit la température ambiante. La solution est \theta(t) = 60\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20 (car \theta(0) = 60 + 20 = 80), et \theta(t) \to 20 °C quand t \to +\infty : l'objet se refroidit jusqu'à la température du milieu.

Pièges fréquents

  • Erreur de signe dans -\dfrac{b}{a} : pour y' = 3y - 6, b = -6 et -b/a = 6/3 = 2.
  • Oublier la solution particulière et ne donner que C\mathrm{e}^{ax}.
  • Confondre b et la valeur d'équilibre -b/a.
  • Ne pas mettre l'équation sous forme canonique y' = ay + b avant de lire a et b.
  • Oublier que la convergence vers l'équilibre n'a lieu que si a < 0.

Pour l'épreuve

C'est le modèle des phénomènes « avec équilibre » : refroidissement de Newton, charge d'un condensateur, concentration de saturation, masse limite. La méthode est mécanique : trouver l'équilibre -b/a, écrire la solution générale C\mathrm{e}^{ax} - b/a, fixer la constante par la condition initiale, puis déterminer la limite. Interprète toujours l'équilibre dans le contexte de l'énoncé (température ambiante, valeur de saturation) et soigne le signe de -b/a.