Équations de la forme y'=ay+f

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Équations de la forme y' = ay + f

Définitions et théorèmes

On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre f (fonction continue) : (E) : \quad y' = ay + f(x).

Théorème de structure. Si y_p est une solution particulière de (E), alors l'ensemble des solutions de (E) est y(x) = y_p(x) + C\,\mathrm{e}^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}, c'est-à-dire : une solution particulière, plus la solution générale de l'équation homogène y' = ay.

Démonstration (principe). Si y et y_p sont solutions de (E), alors z = y - y_p vérifie z' = y' - y_p' = (ay + f) - (ay_p + f) = a(y - y_p) = az. Donc z = C\mathrm{e}^{ax}, d'où y = y_p + C\mathrm{e}^{ax}.

Formules à connaître

Solution générale : y = y_p + C\mathrm{e}^{ax}.
Homogène : y_h = C\mathrm{e}^{ax}.

Méthodes type bac

1. Résoudre l'homogène y' = ay : C\mathrm{e}^{ax}. 2. Chercher y_p selon la forme de f : - f polynôme : y_p polynôme de même degré ; identifier les coefficients. - f(x) = k\mathrm{e}^{\lambda x} avec \lambda \neq a : y_p = A\mathrm{e}^{\lambda x}. - f(x) = k\mathrm{e}^{ax} (résonance, même exposant) : y_p = Ax\mathrm{e}^{ax}. - f trigonométrique : y_p = \alpha\cos x + \beta\sin x, identifier \alpha,\beta. 3. Additionner : y = y_p + C\mathrm{e}^{ax}. 4. Fixer C avec la condition initiale.

En pratique au lycée, la forme de y_p est fournie par l'énoncé : on la vérifie ou on identifie ses coefficients.

Exemple sans résonance : pour (E) : y' = 2y + \mathrm{e}^x, on cherche y_p = k\mathrm{e}^x. Alors y_p' = k\mathrm{e}^x et l'équation donne k\mathrm{e}^x = 2k\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x, soit k = 2k + 1, d'où k = -1 et y_p = -\mathrm{e}^x. Les solutions sont y(x) = C\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x. Exemple de résonance : pour y' = y + \mathrm{e}^x, comme \mathrm{e}^x est déjà solution homogène, on cherche y_p = Ax\mathrm{e}^x ; on trouve A = 1, soit y_p = x\mathrm{e}^x et y(x) = (x + C)\mathrm{e}^x.

Pièges fréquents

Oublier d'ajouter la solution homogène C\mathrm{e}^{ax} et ne donner que y_p.
En cas de résonance (\lambda = a), oublier le facteur x : il faut y_p = Ax\mathrm{e}^{ax} et non A\mathrm{e}^{ax}.
Erreurs d'identification des coefficients : bien regrouper séparément les termes en \cos et en \sin, ou les puissances de x.
Fixer C sur y_p seule au lieu de la solution complète y_p + C\mathrm{e}^{ax}.
Confondre la forme de f avec celle de y_p : ils ont la même nature mais pas forcément les mêmes coefficients.

Pour l'épreuve

L'énoncé guide presque toujours : il fournit la forme de y_p à vérifier ou à compléter par identification. Le réflexe est constant : (1) résoudre l'homogène, (2) trouver la particulière, (3) sommer, (4) fixer la constante par la condition initiale. Sois rigoureux sur l'identification des coefficients et n'oublie jamais le terme C\mathrm{e}^{ax}, qui rapporte des points même si la solution particulière est donnée.