Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
# Équations différentielles : définition et généralités
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y, et qui fait intervenir y ainsi que ses dérivées (y', parfois y''). Exemples : y' = 2y, y' = ay + b, y'' + \omega^2 y = 0.
Une solution sur un intervalle I est une fonction dérivable y qui vérifie l'égalité pour tout x \in I.
Solution générale et solution particulière. L'ensemble des solutions dépend en général d'une (ou plusieurs) constante(s) arbitraire(s) : c'est la solution générale. En imposant une condition initiale y(x_0) = y_0 (problème de Cauchy), on fixe la constante et l'on obtient une solution particulière unique.
Principe de superposition (cas y' = ay + b). La solution générale s'obtient comme : solution générale de l'équation « sans second membre » y' = ay, plus une solution particulière de l'équation complète. Ce principe se démontre par le changement de fonction z = y - y_p.
1. Vérifier qu'une fonction est solution : dériver, substituer, conclure. 2. Trouver une solution particulière constante de y' = ay + b : poser y' = 0, résoudre ay + b = 0, d'où y = -b/a. 3. Changement de fonction z = y - y_p pour se ramener à z' = az. 4. Imposer la condition initiale pour calculer la constante.
Exemple de vérification : la fonction y(x) = 3\mathrm{e}^{2x} est-elle solution de y' = 2y ? On dérive : y'(x) = 6\mathrm{e}^{2x}, et 2y(x) = 6\mathrm{e}^{2x}, donc y' = 2y : oui. Exemple de superposition : pour y' = 2y + 3, la constante y_p = -\frac32 est solution particulière (car 2\times(-\frac32) + 3 = 0 = y_p'), et le changement z = y - y_p ramène à z' = 2z, dont les solutions sont C\mathrm{e}^{2x} ; d'où y = C\mathrm{e}^{2x} - \frac32.
Ce chapitre pose le vocabulaire indispensable : équation, solution, solution générale, solution particulière, condition initiale. Le réflexe « vérifier une solution en dérivant puis en substituant » et la structure « solution homogène + solution particulière » servent dans toutes les questions des chapitres suivants. Sache interpréter y' = ky comme un modèle de croissance ou de décroissance exponentielle, et reconnaître y' = ay + b comme un modèle avec valeur d'équilibre.