Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_1,\dots,x_n avec les probabilités p_1,\dots,p_n (de somme 1).
L'espérance est E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i p_i : c'est la valeur moyenne de X sur un grand nombre de répétitions.
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance : V(X)=E\left((X-E(X))^2\right)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2 p_i\geq 0.
L'écart-type est \sigma(X)=\sqrt{V(X)}, exprimé dans la même unité que X.
Calculer une variance : utilise presque toujours König-Huygens, plus rapide que la définition. Calcule d'abord E(X), puis E(X^2) (penses bien à mettre les valeurs au carré, pas les probabilités), puis V(X)=E(X^2)-(E(X))^2.
Établir une loi à partir d'un tirage : compte les cas favorables sur le total. Vérifie que la somme des probabilités vaut 1 avant de continuer.
Étudier un jeu : modélise le gain comme une variable, calcule E(\text{gain}). Compare à la mise : équitable si égalité, favorable au joueur si E> mise.
À la calculatrice : en mode statistiques, on saisit les valeurs et les probabilités (effectifs) pour obtenir directement \bar{x}=E(X) et \sigma_x=\sigma(X). Pratique pour vérifier.
L'espérance, la variance et l'écart-type sont les trois indicateurs fondamentaux d'une variable aléatoire ; ils reviennent dans tous les exercices de probabilités. Maîtrise König-Huygens : c'est la méthode attendue et elle évite les erreurs de calcul des écarts à l'espérance. Pense à donner les arrondis demandés (souvent au centième pour \sigma) et à préciser les unités pour un gain. Organise tes calculs en colonnes (x_i, p_i, x_i p_i, x_i^2 p_i) pour limiter les erreurs et relire facilement.
Ces grandeurs sont aussi le point de départ des inégalités de concentration : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev relie directement V(X) et la probabilité que X s'écarte de son espérance. Une variance bien calculée ici garantit des points dans tout le reste du sujet de probabilités, car elle se propage à la somme et à la moyenne d'un échantillon. Vérifie toujours deux choses avant de conclure : la somme des probabilités vaut bien 1, et la variance obtenue est positive. Si tu disposes de la calculatrice, utilise le mode statistique pour contrôler E(X) et \sigma(X) : un calcul à la main confirmé par la machine est un calcul sûr, et c'est un gain de confiance précieux le jour de l'épreuve.