Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(n, p) (nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves de paramètre p).

Théorème (espérance, variance, écart-type). E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.

Idée de la démonstration. On écrit X = X_1 + X_2 + \dots + X_n, où chaque X_i est la variable indicatrice de Bernoulli de la i-ème épreuve (paramètre p). Par linéarité de l'espérance, E(X) = \sum E(X_i) = n \times p = np. Les X_i étant indépendantes, les variances s'ajoutent : V(X) = \sum V(X_i) = n \times p(1-p) = np(1-p).

Formules à connaître

E(X) = np.
V(X) = np(1-p).
\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.
1 - p = \dfrac{V(X)}{E(X)} (pour retrouver p, puis n).
V(X) maximale (à n fixé) pour p = \tfrac{1}{2} : V(X) = \tfrac{n}{4}.

Méthodes type bac

Calcul direct. Identifie n et p, puis applique E = np, V = np(1-p), \sigma = \sqrt{V}.

Interpréter l'espérance. E(X) = np représente le nombre moyen de succès attendu : dans une situation concrète (courriels ouverts, pièces défectueuses), formule cette interprétation.

Retrouver n et p. Si on connaît E(X) et V(X), on calcule 1 - p = \dfrac{V(X)}{E(X)}, d'où p, puis n = \dfrac{E(X)}{p}.

Pièges fréquents

Variance. V(X) = np(1-p), à ne pas confondre avec np (l'espérance) ou np^2.
Écart-type. \sigma = \sqrt{V} : ne pas oublier la racine carrée.
Confusion n et p. n est le nombre d'épreuves (entier), p une probabilité (entre 0 et 1).
Arrondi de \sigma. Garder V exacte avant de prendre la racine.

Pour l'épreuve

Ces trois formules (E = np, V = np(1-p), \sigma = \sqrt{np(1-p)}) sont à connaître par cœur : elles tombent presque systématiquement dans les exercices de loi binomiale. La technique « 1-p = V/E » pour retrouver les paramètres est un grand classique. Pense à toujours interpréter l'espérance dans le contexte de l'énoncé : c'est souvent une question explicite et facile à valoriser.

La démonstration de ces formules par décomposition en somme de variables de Bernoulli est elle aussi un attendu : il faut savoir écrire X = X_1 + \dots + X_n, invoquer la linéarité de l'espérance pour obtenir E(X) = np, puis l'indépendance des X_i pour additionner les variances et obtenir V(X) = np(1-p). Souviens-toi que l'additivité des variances n'est licite que parce que les épreuves sont indépendantes : c'est un point que les correcteurs vérifient. Sur le plan numérique, une vérification rapide consiste à confronter l'ordre de grandeur de \sigma(X) à l'espérance : pour une loi binomiale, l'écart-type est typiquement bien plus petit que np dès que n est grand, ce qui traduit une concentration des valeurs autour de la moyenne. Cette intuition prépare directement la loi des grands nombres et les inégalités de concentration étudiées plus loin dans l'année.