Etude de la fonction logarithme népérien

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction \ln est dérivable sur ]0\ ;+\infty[ et \ln'(x) = \dfrac{1}{x}. Comme \dfrac{1}{x} > 0 pour tout x > 0, \ln est strictement croissante sur ]0\ ;+\infty[.

Limites de référence : \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. La droite x = 0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale.

_Figure : courbe de ln passant par (1 ; 0) et (e ; 1), avec l'asymptote verticale x = 0._

Tableau de variations : \ln croît de -\infty (en 0^+) à +\infty (en +\infty), avec \ln 1 = 0.

_Figure : tableau de variations de ln sur ]0 ; +∞[._

Formules à connaître

  • \ln'(x) = \dfrac{1}{x} et, par composition, \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u} (avec u > 0).
  • Tangente en 1 : y = x - 1. D'où l'inégalité de comparaison \ln x \leqslant x - 1 pour tout x > 0.
  • \ln est concave sur ]0\ ;+\infty[ (car \ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0) : sa courbe est sous chacune de ses tangentes.

Méthodes type bac

Tangente. En un point d'abscisse a > 0 : y = \ln'(a)(x - a) + \ln a = \dfrac{1}{a}(x - a) + \ln a.

Étudier une fonction avec \ln. On précise l'ensemble de définition (argument > 0), on dérive (souvent avec \dfrac{u'}{u} ou un quotient), on étudie le signe de la dérivée, on dresse le tableau de variations, on cherche extremums et limites. Exemple type : f(x) = \dfrac{\ln x}{x} a pour dérivée \dfrac{1 - \ln x}{x^2}, un maximum \dfrac{1}{e} en x = e, et tend vers 0 en +\infty.

Résoudre une inéquation avec \ln. On compose par \exp (croissante, garde le sens) : \ln x < k \iff x < e^k, sans oublier x > 0.

Pièges fréquents

  • Oublier la condition x > 0 dans l'ensemble solution : \ln x < 2 donne ]0\ ;e^2[ et non ]-\infty\ ;e^2[.
  • Écrire \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{1}{u} en oubliant le facteur u' : la bonne formule est \dfrac{u'}{u}.
  • Confondre les deux limites : en 0^+ c'est -\infty, en +\infty c'est +\infty.
  • Croire que \ln est convexe : elle est concave (croissance qui ralentit).

Pour l'épreuve

Le triptyque dérivée \dfrac{1}{x} / limites -\infty et +\infty / tangente y = x - 1 doit être su sans hésitation. Pour toute étude de fonction logarithmique, le plan est toujours le même : ensemble de définition, dérivée, signe, variations, limites, asymptotes. L'inégalité \ln x \leqslant x - 1 rend des services pour comparer ou encadrer. Beaucoup de sujets enchaînent ensuite sur le théorème des valeurs intermédiaires : la stricte monotonie de \ln (ou d'une fonction construite avec \ln) garantit l'unicité d'une solution à une équation f(x) = k, que l'on encadre à la calculatrice. Enfin, ne pas oublier que la concavité de \ln (sa dérivée seconde -\dfrac{1}{x^2} est négative) place sa courbe sous toutes ses tangentes : c'est l'argument graphique attendu pour justifier l'inégalité \ln x \leqslant x - 1.