Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R}, avec \exp'=\exp. Comme e^x>0 pour tout réel x, sa dérivée est strictement positive : \exp est strictement croissante sur \mathbb{R}.
_Figure : tableau de variations de la fonction exponentielle sur ℝ._
Elle réalise une bijection de \mathbb{R} sur ]0\,;+\infty[ : pour tout k>0, l'équation e^x=k admet une unique solution x=\ln k.
Convexité : \exp''(x)=e^x>0, donc \exp est convexe sur \mathbb{R} ; sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
Allure de la courbe : elle part de l'axe des abscisses en venant de la gauche (sans jamais le toucher), passe par les points remarquables de coordonnées (0\,;1) et (1\,;e), et croît de plus en plus vite vers la droite. La tangente au point d'abscisse 0, d'équation y=x+1, est entièrement située sous la courbe : c'est la traduction graphique de la convexité et de l'inégalité e^x\ge x+1.
_Figure : courbe de la fonction exponentielle, avec sa tangente en 0 d'équation y = x + 1._
Formules à connaître
\exp'(x)=e^x, \exp''(x)=e^x.
Tangente en 0 : y=x+1 ; d'où l'inégalité e^x\ge x+1 pour tout réel x (égalité en 0).
Dérivée composée : \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}.
\exp strictement croissante : e^a< e^b\iff a< b.
Méthodes type bac
Étudier une fonction du type v(x)e^{u(x)} : calculer f' avec la dérivée d'un produit, factoriser par e^{u}>0, étudier le signe du facteur polynomial restant, puis dresser le tableau de variation. Exemple : pour f(x)=e^x-x, f'(x)=e^x-1 qui s'annule en 0, minimum f(0)=1.
Trouver un extremum : repérer où f' s'annule en changeant de signe, puis calculer la valeur de f en ce point. Un changement - puis + donne un minimum, + puis - un maximum.
Équation de tangente : y=f(a)+f'(a)(x-a) ; une tangente horizontale correspond à f'(a)=0 (cas d'un extremum).
Dérivée composée : pour h(x)=e^{-x^2}, avec u(x)=-x^2 et u'(x)=-2x, on obtient h'(x)=-2x\,e^{-x^2}, de signe opposé à x.
Pièges fréquents
Oublier que e^{u}>0 : le signe de la dérivée d'un produit v\,e^{u} ne dépend que de v (ou du facteur restant après factorisation).
Confondre la dérivée de e^{u} (u'e^{u}) avec e^{u'} : on multiplie par u', on ne le met pas en exposant.
Pour h(x)=e^{-x^2}, ne pas oublier le facteur u'=-2x : h'(x)=-2x\,e^{-x^2}, pas e^{-x^2} seul.
Croire que \exp peut atteindre la valeur 0 : la courbe s'approche de l'axe des abscisses en -\infty sans jamais le toucher.
Pour l'épreuve
Une étude complète de fonction exponentielle (dérivée, signe, tableau, tangente, parfois convexité) est un type d'exercice récurrent. Le réflexe gagnant : factoriser la dérivée par l'exponentielle, qui ne change jamais de signe, pour réduire l'étude au signe d'un polynôme. Penser aussi à la convexité (\exp''=e^x>0) qui sert à justifier l'inégalité e^x\ge x+1.