Exemples de résolution d'équations trigonométriques

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les équations trigonométriques de référence se résolvent grâce aux équivalences (pour k \in \mathbb{Z}) : \cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou}\ x = -a + 2k\pi, \sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou}\ x = \pi - a + 2k\pi. Elles découlent directement de la lecture du cercle trigonométrique : deux angles ont même cosinus s'ils sont opposés (à 2\pi près), même sinus s'ils sont supplémentaires (à 2\pi près).

Formules à connaître

  • Les deux équivalences ci-dessus.
  • Les valeurs remarquables, pour reconnaître le second membre : \dfrac12 = \cos\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\sqrt2}{2} = \cos\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\sqrt3}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{3}.
  • \cos x \in [-1\ ;1] et \sin x \in [-1\ ;1] : tout second membre hors de cet intervalle rend l'équation impossible.

Méthodes type bac

Isoler puis identifier. On met l'équation sous la forme \cos x = c ou \sin x = c, on écrit c = \cos a (ou \sin a) avec a remarquable, on applique l'équivalence, puis on sélectionne les solutions dans l'intervalle imposé en faisant varier k.

Valeur négative pour le sinus. \sin x = -\dfrac12 : on écrit -\dfrac12 = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right), d'où x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi ou x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi.

Argument multiple. Pour \cos(2x) = c, on résout en 2x puis on divise par 2 : le pas devient k\pi et on obtient deux fois plus de solutions sur [0\ ;2\pi[.

Équation polynomiale. 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 : on pose X = \cos x, on résout le trinôme (X = 1 ou X = -\dfrac12), on revient à x en gardant seulement X \in [-1\ ;1].

Pièges fréquents

  • N'écrire qu'une seule famille de solutions : \cos x = \cos a en donne deux (\pm a), \sin x = \sin a aussi (a et \pi - a).
  • Oublier de balayer k pour récupérer toutes les solutions de l'intervalle (notamment avec \cos(2x)).
  • Conserver une racine X hors de [-1\ ;1].
  • Mélanger les deux schémas (opposés pour \cos, supplémentaires pour \sin).

Pour l'épreuve

Bien distinguer les deux équivalences est décisif. Toujours préciser l'intervalle et lister proprement les solutions. Pour les arguments du type 2x ou 3x + \varphi, résoudre d'abord sur l'argument, puis revenir à x : c'est là que beaucoup de solutions sont oubliées.