Fonction cosinus

Formules à connaître

• \cos'(x) = -\sin x ; par composition, \big(\cos(u)\big)' = -u'\sin(u).
• Encadrement : -1 \leqslant \cos x \leqslant 1.
• Période de x \mapsto \cos(\omega x) : T = \dfrac{2\pi}{\omega} (pour \omega > 0).
• Valeurs clés : \cos 0 = 1, \cos\dfrac{\pi}{2} = 0, \cos\pi = -1, \cos\dfrac{3\pi}{2} = 0, \cos(2\pi) = 1.

Méthodes type bac

Étudier les variations. Sur une période [0\ ;2\pi] : \cos' = -\sin. Comme \sin \geqslant 0 sur [0\ ;\pi], \cos décroît de 1 à -1 ; sur [\pi\ ;2\pi], \sin \leqslant 0, donc \cos croît de -1 à 1.

Dériver une composée. Pour f(x) = \cos(\omega x + \varphi) : f'(x) = -\omega\sin(\omega x + \varphi).

Tangente. En a : y = \cos'(a)(x - a) + \cos a = -\sin a \,(x - a) + \cos a.

Modèle physique d'oscillation. Pour x(t) = A\cos(\omega t) : la position est bornée par \pm A (amplitude A), la vitesse est x'(t) = -A\omega\sin(\omega t), bornée par \pm A\omega, et la période vaut \dfrac{2\pi}{\omega}.

Pièges fréquents

• Oublier le signe « moins » : \cos'(x) = -\sin x, pas +\sin x.
• Dans \big(\cos(u)\big)', oublier le facteur u' : \big(\cos(2x)\big)' = -2\sin(2x), pas -\sin(2x).
• Calculer une période de \cos(\omega x) comme 2\pi au lieu de \dfrac{2\pi}{\omega}.
• Étudier \cos sur tout \mathbb{R} alors qu'il suffit d'une période (puis on prolonge par périodicité).

Pour l'épreuve

Réduire l'étude à une période et exploiter parité et périodicité économise beaucoup de calculs. Le réflexe « dérivée = -u'\sin(u) » et l'encadrement -1 \leqslant \cos \leqslant 1 permettent de borner vitesses, positions et de localiser extremums dans les problèmes de mouvement. Quand un énoncé parle d'oscillation, de marée, de courant alternatif ou de tension électrique, c'est souvent un modèle A\cos(\omega t + \varphi) : on identifie l'amplitude A, la pulsation \omega, et l'on retrouve la période \dfrac{2\pi}{\omega}. Pensez enfin à vérifier que la calculatrice est en mode radian avant tout calcul de valeur numérique : c'est une source d'erreur classique le jour de l'épreuve.