Fonction sinus

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction sinus est définie sur \mathbb{R}, à valeurs dans [-1\ ;1]. Elle est : - périodique de période 2\pi : \sin(x + 2\pi) = \sin x ; - impaire : \sin(-x) = -\sin x, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Elle est dérivable sur \mathbb{R} et \sin'(x) = \cos x.

Limite de référence : \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1. Elle traduit que le nombre dérivé de \sin en 0 vaut \cos 0 = 1.

Formules à connaître

  • \sin'(x) = \cos x ; par composition, \big(\sin(u)\big)' = u'\cos(u).
  • Encadrement : -1 \leqslant \sin x \leqslant 1.
  • Tangente en 0 : y = x, d'où \sin x \approx x pour x proche de 0.
  • Période de x \mapsto \sin(\omega x) : \dfrac{2\pi}{\omega} (pour \omega > 0).

Méthodes type bac

Étudier les variations. Sur \left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\dfrac{\pi}{2}\right] : \sin' = \cos \geqslant 0, \sin croît de -1 à 1. Sur \left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\dfrac{3\pi}{2}\right] : \cos \leqslant 0, \sin décroît.

Limites du type \dfrac{\sin(ax)}{x}. On force la forme de référence : \dfrac{\sin(ax)}{x} = a \times \dfrac{\sin(ax)}{ax} \to a quand x \to 0.

Dériver une composée. \big(\sin(\omega x + \varphi)\big)' = \omega\cos(\omega x + \varphi).

Étudier une somme trigonométrique. Pour f = \sin + \cos, on dérive (f' = \cos - \sin), on résout f' = 0 (ici \tan x = 1), on lit le tableau ; les extremums sont \pm\sqrt2.

Pièges fréquents

  • Oublier le facteur u' : \big(\sin(5x)\big)' = 5\cos(5x), pas \cos(5x).
  • Croire que \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} est une forme indéterminée non calculable : c'est une limite connue valant 1.
  • Mélanger les dérivées : \sin' = \cos (sans signe), \cos' = -\sin (avec signe).
  • Confondre parité de \sin (impaire) et de \cos (paire).

Pour l'épreuve

La paire de dérivées \sin' = \cos, \cos' = -\sin et la limite \dfrac{\sin x}{x} \to 1 sont les points clés. Pour borner ou résoudre, exploiter -1 \leqslant \sin x \leqslant 1. L'approximation \sin x \approx x près de 0 éclaire beaucoup de limites et de modèles physiques. Comme pour le cosinus, on ramène toute étude à une période [0\ ;2\pi], puis on prolonge par périodicité, et l'imparité permet de ne raisonner que sur [0\ ;\pi] en symétrisant. Dans les exercices d'optimisation trigonométrique (somme \sin x + \cos x, aire d'un triangle inscrit, etc.), le plan reste classique : dériver, résoudre f'(x) = 0, dresser le tableau, comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes pour conclure sur les extremums. Et toujours travailler en radians sur la calculatrice.