Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Les formules d'addition relient les fonctions trigonométriques d'une somme ou d'une différence d'angles. Pour tous réels a et b : \cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b, \qquad \cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b, \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b, \qquad \sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.
En posant b = a, on obtient les formules de duplication : \cos(2a) = \cos^{2}a - \sin^{2}a = 2\cos^{2}a - 1 = 1 - 2\sin^{2}a, \qquad \sin(2a) = 2\sin a\cos a.
- Les quatre formules d'addition ci-dessus. - Duplication : \cos(2a) (trois formes), \sin(2a) = 2\sin a\cos a. - Linéarisation (issue de la duplication) : \cos^{2}a = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}, \qquad \sin^{2}a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}.
Valeur exacte d'un angle non standard. On décompose en angles remarquables : \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}, puis on applique une formule d'addition. Résultat : \cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}.
Calculer \cos(2a) et \sin(2a). Connaissant \cos a (ou \sin a) et le quadrant, on trouve l'autre par \cos^2 a + \sin^2 a = 1, puis on applique les formules de duplication.
Linéariser pour intégrer ou simplifier. Un terme \sin^2 a ou \cos^2 a se remplace par sa forme linéaire en \cos(2a), ce qui transforme un produit en somme.
Simplifier une dérivée. Une dérivée comme -2\sin(2x) - 2\sin x se factorise en utilisant \sin(2x) = 2\sin x\cos x, donnant -2\sin x(2\cos x + 1) : le signe se lit alors facilement.
Ces formules sont « pour aller plus loin » mais reviennent dans les problèmes d'étude de fonctions trigonométriques et avant une intégration. Mémoriser les formules d'addition permet de tout reconstruire (duplication, linéarisation). Le réflexe gagnant : remplacer \sin(2x) par 2\sin x\cos x pour factoriser une dérivée et étudier son signe. À l'inverse, pour calculer une intégrale comme \displaystyle\int \cos^2 x\,dx, on linéarise d'abord (\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}) pour se ramener à des primitives connues. Pour retrouver \sin\dfrac{5\pi}{12} ou \cos\dfrac{7\pi}{12}, on décompose en angles remarquables (\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4}) et l'on applique une formule d'addition. Garder en tête qu'une seule erreur de signe dans \cos(a+b) fait basculer tout le résultat : on vérifie sur un cas simple, par exemple b = 0, qui doit redonner \cos a.