Formules des dérivées usuelles

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La dérivation transforme une fonction f en sa fonction dérivée f', qui donne en chaque point la pente de la tangente. Le tableau des dérivées usuelles et les règles d'opération permettent de dériver presque toutes les fonctions du programme.

Dérivées usuelles. (x^n)' = n x^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad \big(\sqrt{x}\big)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x.

Opérations. (u + v)' = u' + v', \quad (ku)' = k u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Formules à connaître

  • Cas particulier du quotient : \left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}, valable là où v \neq 0.
  • La dérivée d'une fonction affine x \mapsto ax + b est la constante a.
  • Constante : (c)' = 0.
  • Domaines : \ln et \sqrt{\ } ne se dérivent que sur ]0\,;+\infty[ ; \dfrac{1}{x} sur \mathbb{R}^*.

Méthodes type bac

1. Identifier la structure avant de dériver : la fonction est-elle une somme, un produit, un quotient ? Poser u, v, u', v' proprement avant d'appliquer la formule. 2. Étude de variations : après le calcul de f', factoriser ou simplifier pour étudier le signe. Pour un quotient, le signe de f' est celui du numérateur car le dénominateur v^2 est positif (sauf en ses zéros). 3. Localiser les extremums : un extremum local d'une fonction dérivable se trouve là où f' s'annule en changeant de signe ; on lit alors le tableau de variations pour conclure (maximum si f' passe de + à -, minimum sinon). 4. Vérification : pour un produit simple, on peut développer d'abord puis dériver et comparer au résultat obtenu par la formule du produit.

Pièges fréquents

  • Écrire (uv)' = u'v' : FAUX. La bonne formule est u'v + uv'.
  • Inverser l'ordre dans le quotient : le numérateur est u'v - uv', et non uv' - u'v.
  • Oublier les conditions de validité : \ln et \sqrt{x} ne sont définis (et dérivables) que pour x > 0.
  • Oublier de simplifier le numérateur d'un quotient avant d'en étudier le signe : un numérateur non réduit peut masquer son signe réel.

Pour l'épreuve

La maîtrise sans hésitation des dérivées usuelles et des quatre opérations est la base de toute étude de fonction (variations, tangentes, extremums, convexité). Pose toujours explicitement u, u', v, v' : c'est attendu par le correcteur et cela évite les erreurs de signe. Le réflexe « signe de f' = signe du numérateur » pour un quotient fait gagner beaucoup de temps. Enfin, présente le résultat de f' sous forme factorisée chaque fois que possible : c'est la forme qui permet d'enchaîner directement sur l'étude du signe et le tableau de variations, étapes qui rapportent l'essentiel des points dans un exercice d'analyse.