Généralités sur les limites de fonctions

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La limite d'une fonction décrit son comportement quand x s'approche d'une valeur (finie ou infinie).

  • Limite en +\infty ou -\infty : comportement de f(x) pour x très grand (positif ou négatif).
  • Limite en un réel a : on distingue la limite à droite (x\to a^+, valeurs >a) et à gauche (x\to a^-, valeurs <a).
  • Une limite peut être finie (\ell), infinie (\pm\infty), ou ne pas exister.

Formules

Limites usuelles :

  • \lim\limits_{x\to+\infty} x^n=+\infty ; en -\infty, x^n\to+\infty si n pair, -\infty si n impair.
  • \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n}=0 ; \lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty ; \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt x}=0.
  • \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty, \lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.

Méthodes type bac

  • Limite en un pôle (dénominateur nul) : étudier le signe du dénominateur à droite et à gauche (0^+ ou 0^-), combiner avec le signe du numérateur.
  • Limite en l'infini d'un quotient : factoriser par le terme dominant (cf. chapitre Opérations).
  • Lecture des limites par côté : toujours préciser a^+ ou a^- quand le dénominateur s'annule.

Pièges

  • Ne pas confondre \lim\limits_{x\to a^+} et \lim\limits_{x\to a^-} : pour \dfrac{1}{x} en 0, elles valent +\infty et -\infty.
  • \dfrac{a}{0} n'est pas une FI : c'est \pm\infty, le signe se déduit du côté d'approche.
  • Une fonction peut avoir une limite finie en l'infini (asymptote horizontale) sans jamais l'atteindre.

Pour l'épreuve

Maîtrise les limites usuelles et le maniement de « 0^+ / 0^- » : c'est ce qui distingue une limite +\infty d'une -\infty en un pôle. La distinction limite à droite / à gauche est systématiquement attendue dans l'étude des asymptotes verticales.