Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La limite d'une suite décrit le comportement de u_n lorsque n\to+\infty.
(u_n) converge vers \ell (réel) si tout intervalle ouvert contenant \ell contient tous les termes à partir d'un certain rang. Notation : \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell.
(u_n) tend vers +\infty si tout intervalle [A\,;+\infty[ contient tous les termes à partir d'un certain rang (de même pour -\infty).
Sinon, (u_n) diverge sans limite (ex. (-1)^n).
La limite, lorsqu'elle existe, est unique. Toute suite convergente est bornée.
Plus généralement, pour \alpha>0 : \lim n^{\alpha}=+\infty et \lim\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0.
Méthodes type bac
Réécrire un quotient sous la forme a\pm\dfrac{b}{n+c} : le terme fractionnaire tend vers 0, la limite est a.
Montrer la divergence par oscillation : exhiber deux sous-suites (termes pairs, termes impairs) de limites différentes.
Encadrer le rang : pour |u_n-\ell|<\varepsilon, résoudre l'inéquation en n.
Pièges
« Croissante » n'implique pas « tend vers +\infty » : une suite croissante majorée converge.
« Bornée » n'implique pas « convergente » : (-1)^n est bornée et divergente.
Une suite peut tendre vers +\infty sans être monotone.
Exemple de détermination fine du rang. Pour u_n=3-\dfrac{7}{n+2}, qui converge vers 3, on a |u_n-3|=\dfrac{7}{n+2}. Cette quantité est inférieure à 0{,}01 dès que n+2>700, c'est-à-dire n>698 : à partir du rang 699, tous les termes sont à moins de 0{,}01 de 3. Cet exemple illustre concrètement la définition : tout intervalle ouvert autour de 3 finit par contenir tous les termes.
Pour l'épreuve
Connais par cœur les limites usuelles : elles sont la brique de base de tous les calculs de limites. La réécriture \dfrac{an+b}{cn+d}=\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{\dots}{cn+d} est l'outil express pour les quotients de degré 1. Distingue rigoureusement convergence, divergence vers l'infini et divergence par oscillation. Une suite peut diverger de deux façons très différentes : tendre vers l'infini (ex. n^2) ou osciller sans limite (ex. (-1)^n), et il faut nommer le bon cas.