Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Formules à connaître

• Forme directe : P\left(|X-E(X)|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}.
• Forme complémentaire (minoration) : P\left(|X-E(X)|< \delta\right)\geq 1-\dfrac{V(X)}{\delta^2}.
• En multiples de \sigma (avec \delta=k\sigma) : P\left(|X-E(X)|\geq k\sigma\right)\leq \dfrac{1}{k^2}.

Méthodes type bac

Majorer une probabilité d'écart : identifie E(X), V(X) et \delta, puis applique directement la formule. Exemple : E(X)=20, V(X)=4, \delta=5 donne \dfrac{4}{25}=0{,}16.

Minorer une probabilité de proximité : passe au complémentaire. L'événement |X-E(X)|<\delta a pour probabilité 1-P(|X-E(X)|\geq\delta)\geq 1-\dfrac{V(X)}{\delta^2}.

Traduire un intervalle centré : un intervalle ]E(X)-\delta\,;E(X)+\delta[ correspond à |X-E(X)|<\delta. Vérifie qu'il est bien centré sur l'espérance avant d'appliquer l'inégalité.

Déterminer \delta ou un seuil : résous l'inéquation \dfrac{V(X)}{\delta^2}\leq \alpha, soit \delta\geq\sqrt{\dfrac{V(X)}{\alpha}}.

Pièges fréquents

• Oublier le carré au dénominateur : c'est \delta^2, pas \delta.
• Confondre \geq et > : l'inégalité porte sur |X-E(X)|\geq\delta ; au complémentaire on obtient |X-E(X)|<\delta.
• Donner un majorant supérieur à 1 comme s'il était informatif : c'est mathématiquement correct mais inutile.
• Appliquer l'inégalité à un intervalle non centré sur E(X).

Pour l'épreuve

Bienaymé-Tchebychev est l'inégalité fondatrice du thème de la concentration : c'est elle qui sert à démontrer l'inégalité de concentration de la moyenne, puis la loi des grands nombres. Sa force est de ne réclamer ni la loi ni la forme de X, seulement son espérance et sa variance ; c'est une inégalité universelle, valable pour toute variable possédant ces deux caractéristiques. Pense systématiquement au passage au complémentaire pour transformer une majoration d'écart en minoration de proximité, c'est la question la plus fréquente du chapitre.

Vérifie toujours que ton majorant est inférieur à 1 pour qu'il soit exploitable : si \delta est trop petit, l'inégalité reste vraie mais ne dit rien d'utile. Une rédaction propre cite l'inégalité avec ses hypothèses (\delta>0, X admet une espérance et une variance) avant de l'appliquer : c'est ce que le correcteur attend, et cela rapporte des points de rigueur. Entraîne-toi à reconnaître un intervalle centré sur E(X), car c'est la situation où l'inégalité s'applique directement : un intervalle ]E(X)-\delta\,;E(X)+\delta[ correspond exactement à |X-E(X)|<\delta. Cette gymnastique, simple mais piégeuse, fait la différence entre une copie sûre et une copie hésitante.