Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
L'inégalité de concentration s'applique à la moyenne M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n} d'un échantillon de n variables indépendantes de même loi que X (d'espérance \mu et de variance \sigma^2). Pour tout \delta>0 : P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V(X)}{n\delta^2}=\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
Elle se démontre en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à M_n : comme E(M_n)=\mu et V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}, on obtient P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V(M_n)}{\delta^2}=\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
Majorer la probabilité d'un écart de la moyenne : remplace V(X), n et \delta dans la formule. Attention au \delta^2 et au facteur n au dénominateur.
Démontrer l'inégalité : c'est une application directe de Bienaymé-Tchebychev à M_n. Cite E(M_n)=\mu et V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}, puis conclus.
Dimensionner un échantillon : pour un risque \alpha donné, résous \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}\leq\alpha, d'où n\geq\dfrac{\sigma^2}{\alpha\delta^2}, puis prends l'entier supérieur.
Sondage avec p inconnu : utilise la majoration universelle \dfrac{1}{4n\delta^2}, justifiée par p(1-p)\leq\frac{1}{4} (maximum atteint en p=\frac{1}{2}).
L'inégalité de concentration est l'étape charnière entre Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres. Sache la redémontrer en deux lignes (c'est une question de cours classique) : application de Bienaymé-Tchebychev à M_n avec E(M_n)=\mu et V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}. Cette démonstration courte revient très souvent et doit être un automatisme parfaitement maîtrisé.
Les exercices d'application portent presque toujours sur le dimensionnement d'un échantillon (sondage, contrôle qualité, estimation) : isole n proprement dans l'inéquation, puis prends l'entier immédiatement supérieur. La majoration p(1-p)\leq\frac{1}{4} est un grand classique en sondage car elle évite d'avoir à connaître p ; sache la justifier rapidement par l'étude de la fonction f(p)=p(1-p), maximale en p=\frac{1}{2}. Garde en tête que le majorant tend vers 0 quand n\to+\infty : c'est exactement ce qui fonde la loi des grands nombres faible étudiée au chapitre suivant. Surveille particulièrement le \delta^2 et le facteur n au dénominateur, deux sources d'erreurs récurrentes, et n'oublie jamais de distinguer V(X) (variance de la variable mère) de V(M_n)=\frac{V(X)}{n} (variance de la moyenne). Avec ces réflexes, le dimensionnement d'échantillon devient une question mécanique et sûre.
Un dernier conseil de méthode : pose toujours l'inéquation sous la forme \frac{V(X)}{n\delta^2}\leq\alpha avant de manipuler, identifie clairement V(X), \delta et le seuil de risque \alpha, puis isole n en une seule étape. Pour un sondage où la proportion p est inconnue, remplace p(1-p) par son majorant \frac{1}{4} dès le départ : tu obtiens une taille d'échantillon garantie quel que soit p. Ces exercices d'estimation, très présents au bac, deviennent alors entièrement routiniers et te sécurisent des points faciles dans les parties de probabilités.