Intégration par parties

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Intégration par parties

Définitions et théorèmes

Théorème (intégration par parties, IPP). Soient u et v deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 (dérivables, à dérivées continues) sur [a\,;b]. Alors \int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.

Origine. C'est la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' intégrée entre a et b : \int_a^b (uv)' = \int_a^b u'v + \int_a^b uv', soit [uv]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'.

L'IPP permet de calculer des intégrales de produits que les primitives usuelles ne donnent pas directement.

Formules à connaître

  • \displaystyle\int_a^b u v' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v.
  • Résultats à connaître : \displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = 1 ; \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x = 1.

Méthodes type bac

1. Identifier un produit : x^n\mathrm{e}^x, x^n\ln x, x\cos x, x\sin x. 2. Choisir u et v' : - Avec \ln : poser u = \ln x (sa dérivée \frac1x simplifie), v' = le reste. - Avec x^n et exponentielle/trigo : poser u = x^n (dérivée plus simple), v' = \mathrm{e}^x ou \cos x. 3. Appliquer la formule : calculer u' et v, écrire le crochet, puis la nouvelle intégrale. 4. Itérer si besoin : pour x^2\mathrm{e}^x, une IPP donne x^2 - une intégrale en x\mathrm{e}^x, qui se traite par une seconde IPP.

Détaillons \int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x. On pose u = \ln x (donc u' = \frac1x) et v' = 1 (donc v = x). Alors \int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x = \big[x\ln x\big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} x\times\frac1x\,\mathrm{d}x = (\mathrm{e}\times 1 - 1\times 0) - \int_1^{\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1. Le facteur \ln x, gênant à primitiver, disparaît grâce à sa dérivée \frac1x qui se simplifie avec le x apporté par v.

Pièges fréquents

  • Mauvais choix de u et v' : l'intégrale restante doit être plus simple, pas plus compliquée. Si elle se complique, échanger les rôles.
  • Oublier le signe moins devant \int u'v : c'est l'erreur la plus pénalisée.
  • Erreur dans la primitive v (signe pour \mathrm{e}^{-x} \to -\mathrm{e}^{-x}, pour \sin x \to -\cos x).
  • Mal évaluer le crochet [uv]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a).
  • Vouloir appliquer l'IPP là où une primitive composée suffit (par exemple \int u'\mathrm{e}^u).

Pour l'épreuve

L'IPP est attendue dès qu'apparaît un produit non immédiat, en particulier \ln x seul (u=\ln x, v'=1) ou x^n\mathrm{e}^x. Pose clairement u, u', v', v dans un coin avant d'écrire la formule. Pour x^2\mathrm{e}^x, une seule IPP ne suffit pas : il faut l'appliquer deux fois de suite. Vérifie le résultat par dérivation quand le temps le permet, surtout si une primitive explicite est demandée.