Interprétation graphique des limites de fonctions : les asymptotes

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les asymptotes traduisent géométriquement les limites d'une fonction.

  • Asymptote horizontale : si \lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell (fini), la droite y=\ell est asymptote horizontale.
  • Asymptote verticale : si \lim\limits_{x\to a^{\pm}} f(x)=\pm\infty, la droite x=a est asymptote verticale.
  • Asymptote oblique : si \lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0 avec a\ne 0, la droite y=ax+b est asymptote oblique.

Formules

  • Fonction homographique f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} : asymptote horizontale y=\dfrac{a}{c}, asymptote verticale x=-\dfrac{d}{c}.
  • Position courbe/asymptote : signe de f(x)-(ax+b) (ou de f(x)-\ell pour une horizontale).

Méthodes type bac

  • Détecter une asymptote verticale : repérer les valeurs interdites (dénominateur nul), calculer les limites à droite/gauche.
  • Détecter une asymptote horizontale : calculer la limite en \pm\infty.
  • Asymptote oblique : écrire f(x)=ax+b+\varepsilon(x) ; si \varepsilon(x)\to 0, conclure et étudier le signe de \varepsilon(x) pour la position.

Pièges

  • Une asymptote horizontale en +\infty peut différer de celle en -\infty : les traiter séparément.
  • La courbe peut traverser son asymptote horizontale ou oblique : le signe de la différence n'est pas forcément constant.
  • L'asymptote oblique exige a\ne 0 (sinon c'est une horizontale).

Exemple complet. Soit f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[. En 0^+, x\to 0 et \dfrac{1}{x}\to+\infty donc f(x)\to+\infty : la droite x=0 est asymptote verticale. En +\infty, f(x)-x=\dfrac{1}{x}\to 0 : la droite y=x est asymptote oblique. Comme \dfrac{1}{x}>0, la courbe est au-dessus de son asymptote oblique. Une même fonction peut donc présenter à la fois une asymptote verticale et une asymptote oblique.

Pour l'épreuve

Relier limite et asymptote est un attendu permanent : « comme \lim f=\ell, la droite y=\ell est asymptote ». Pour l'oblique, la rédaction « f(x)-(ax+b)=\varepsilon(x)\to 0 » suivie de l'étude du signe de \varepsilon(x) rapporte tous les points. N'oublie pas de traiter séparément les comportements en +\infty et en -\infty, qui peuvent donner des asymptotes horizontales différentes.