Interprétation graphique et équation de la tangente

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Tangente. Si f est dérivable en a, la courbe \mathcal{C}_f admet au point A(a\,;f(a)) une tangente de coefficient directeur f'(a). Son équation est y = f'(a)(x - a) + f(a).

Approximation affine locale. Au voisinage de a, f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h : la tangente est la meilleure approximation affine de f près de a.

Position relative courbe / tangente. On étudie le signe de d(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]. Si d(x) > 0 la courbe est au-dessus de la tangente, si d(x) < 0 en dessous. Un changement de signe de d en a caractérise un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente.

Formules à connaître

  • Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a).
  • Tangente horizontale : f'(a) = 0.
  • Approximations près de 0 : e^x \approx 1 + x, \ln(1 + x) \approx x, (1 + x)^n \approx 1 + nx.

Méthodes type bac

1. Écrire une tangente : calculer f(a) et f'(a), substituer dans la formule y = f'(a)(x - a) + f(a), puis développer pour obtenir une équation réduite y = mx + p. 2. Tangente passant par un point extérieur P(x_0\,;y_0) : poser l'abscisse a inconnue, écrire la tangente générale, imposer le passage par P (donc y_0 = f'(a)(x_0 - a) + f(a)), et résoudre l'équation obtenue en a. 3. Position courbe / tangente et point d'inflexion : étudier le signe de d(x) = f(x) - y_T après factorisation (on obtient souvent un facteur (x - a)^3 ou (x - a)^2 \times \dots) ; un changement de signe en a signe un point d'inflexion.

Pièges fréquents

  • Inverser la formule : c'est bien f'(a)(x - a) + f(a), et non f'(a)(x - f(a)) ou f(a)(x - a) + f'(a).
  • Confondre « tangente au point d'abscisse a » et « tangente passant par le point P » : dans le second cas a est inconnue et se calcule.
  • Conclure à un point d'inflexion sans vérifier le changement de signe de d(x) : un signe constant non nul (par exemple (x-a)^2 \geqslant 0 seul) ne donne pas d'inflexion.
  • Oublier que la tangente horizontale (f'(a) = 0) ne signifie pas forcément un extremum : il faut que f' change de signe en a.

Pour l'épreuve

L'équation de tangente est un automatisme attendu : entraîne-toi à la sortir en moins d'une minute, en calculant d'abord f(a) puis f'(a). La position de la courbe par rapport à sa tangente sert souvent de pont vers la convexité (chapitre lié) : une factorisation propre de f(x) - y_T suivie d'une étude de signe rapporte directement des points et permet de conclure sur un éventuel point d'inflexion. Garde aussi en tête l'approximation affine f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h et les cas usuels e^x \approx 1 + x et \ln(1 + x) \approx x au voisinage de 0 : ils interviennent dans les questions de calcul approché et dans les justifications de limites.