k-uplet d'un ensemble

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit E un ensemble fini à n éléments. Un k-uplet (ou liste de longueur k) d'éléments de E est une liste ordonnée (x_1, x_2, \dots, x_k), où chaque x_i appartient à E et où les répétitions sont autorisées. C'est un élément du produit cartésien E^k = E \times E \times \dots \times E.

Théorème (dénombrement des k-uplets). Le nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments est n^k.

La justification est immédiate par le principe multiplicatif : pour chacune des k positions, on dispose de n choix indépendants, d'où \underbrace{n \times n \times \dots \times n}_{k \text{ facteurs}} = n^k.

Formules à connaître

  • Nombre de k-uplets de E (\mathrm{Card}(E) = n) : n^k.
  • Mots de longueur k sur un alphabet de n lettres (avec répétition) : n^k.
  • \mathrm{Card}(E^k) = \big(\mathrm{Card}(E)\big)^k = n^k.

Méthodes type bac

Reconnaître le modèle. Un k-uplet correspond à un tirage successif et avec remise, ou à une succession de k épreuves identiques dont on note le résultat. Dès que l'énoncé dit « avec remise » ou « on note la suite des résultats », on est sur des k-uplets, donc n^k.

Compter une sous-catégorie. Pour compter les k-uplets vérifiant une contrainte (par exemple « ne contenant que des éléments d'une partie F de cardinal m »), on applique de nouveau le principe multiplicatif sur cette partie : m^k.

Au moins un. Pour « au moins un élément de telle nature », on passe au complémentaire : (total n^k) - (cas où aucun élément n'est de cette nature).

Pièges fréquents

  • Confondre n^k et k^n. On choisit k fois parmi n : c'est n^k, l'exposant est le nombre de positions.
  • Croire que l'ordre ne compte pas. Dans un k-uplet l'ordre compte : (a\,;b) et (b\,;a) sont deux uplets différents.
  • Oublier que les répétitions sont permises. Si l'énoncé interdit les répétitions, on n'est plus dans le cadre des k-uplets mais des arrangements.

Pour l'épreuve

Le réflexe à avoir : « tirage successif avec remise \Rightarrow k-uplet \Rightarrow n^k ». Écris toujours l'exposant en clair (n^k) avant de donner la valeur numérique, et garde en tête la distinction entre k-uplet (avec répétition), arrangement (sans répétition) et combinaison (sans ordre) : c'est elle qui structure tout le chapitre de dénombrement.

Un dernier conseil de méthode : quand l'énoncé impose une contrainte (par exemple « le premier symbole est imposé » ou « toutes les composantes sont d'une certaine sorte »), traite-la position par position. Une position imposée ne laisse qu'un choix, une position libre en laisse n, une position restreinte à une partie de cardinal m en laisse m ; le nombre total est le produit de ces nombres de choix. Cette lecture « place par place » est exactement le principe multiplicatif appliqué aux k-uplets, et elle évite les erreurs de comptage. Enfin, vérifie la cohérence de ton résultat : le nombre de k-uplets satisfaisant une contrainte ne peut jamais dépasser le total n^k.