k-uplet ou arrangement d’éléments distincts d’un ensemble

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit E un ensemble fini à n éléments et k un entier tel que 0 \leqslant k \leqslant n. Un arrangement de k éléments de E (aussi appelé k-arrangement ou k-uplet d'éléments distincts) est une liste ordonnée de k éléments deux à deux distincts de E.

Théorème (nombre d'arrangements). Le nombre d'arrangements de k éléments parmi n est A_n^k = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}.

La preuve repose sur le principe multiplicatif : pour la première position on a n choix, pour la deuxième n-1 (un élément déjà utilisé), …, pour la k-ième n-k+1 choix. Le produit comporte exactement k facteurs.

Formules à connaître

  • A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} (produit de k facteurs décroissants depuis n).
  • A_n^0 = 1, A_n^1 = n, A_n^n = n!.
  • Si k > n : A_n^k = 0.
  • Lien avec les combinaisons : A_n^k = k! \times \dbinom{n}{k}.

Méthodes type bac

Reconnaître le modèle. « Tirage successif sans remise », « classement », « podium », « affecter des personnes à des postes distincts » : l'ordre compte et les répétitions sont interdites, c'est un arrangement.

Fixer un élément. Pour compter les arrangements contenant un élément précis à une place donnée, on fixe cet élément, puis on dénombre les façons de compléter les positions restantes par un arrangement plus petit (réduire n et k d'une unité).

Élément à une place quelconque. Si un élément doit apparaître mais à n'importe quelle place, on multiplie par le nombre de places possibles.

Pièges fréquents

  • Confondre avec n^k. Avec remise c'est n^k ; sans remise c'est A_n^k (facteurs décroissants).
  • Confondre avec la combinaison. Si l'ordre ne compte pas (un comité, une main de cartes), c'est une combinaison \binom{n}{k}, pas un arrangement.
  • Compter k+1 facteurs. A_n^k a exactement k facteurs : on s'arrête à n-k+1.

Pour l'épreuve

Pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il ? Y a-t-il répétition ? Si « ordre oui, répétition non », c'est A_n^k. Écris le produit en clair (8 \times 7 \times 6 par exemple) pour éviter les erreurs de calcul, et vérifie le nombre de facteurs (= k). Pour les conditions (« commence par … », « contient … »), traite-les en premier, place par place.

Une remarque utile pour les calculs : la calculatrice possède une touche dédiée aux arrangements (souvent notée nPr), qui donne directement A_n^k. Tu peux donc vérifier ton produit à la main, mais on attend toujours que tu poses le raisonnement combinatoire avant la valeur numérique. Souviens-toi enfin que l'arrangement modélise précisément un tirage successif sans remise dont on note l'ordre des résultats : ce modèle reviendra dans les exercices de probabilité, notamment lorsqu'on compare un tirage ordonné à un tirage simultané. Reconnaître le bon modèle dès la lecture de l'énoncé est la compétence décisive du chapitre, et c'est elle qui distingue l'arrangement de la combinaison qui sera vue ensuite.