Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Le principe de récurrence permet de démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n\ge n_0. Il repose sur deux étapes :
1. Initialisation : on vérifie que P(n_0) est vraie (le plus souvent n_0=0 ou 1).
2. Hérédité : on suppose P(n) vraie pour un entier n\ge n_0 quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence) et on démontre alors P(n+1).
Si ces deux étapes sont établies, alors P(n) est vraie pour tout n\ge n_0.
Image intuitive : une rangée de dominos. L'initialisation fait tomber le premier ; l'hérédité garantit que chaque domino renverse le suivant ; tous tombent.
Formules
La structure rédactionnelle attendue :
« Initialisation : pour n=n_0, ... donc P(n_0) est vraie. »
« Hérédité : supposons P(n) vraie pour un certain n\ge n_0. Montrons P(n+1). ... »
« Conclusion : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n\ge n_0. »
Méthodes type bac
Repérer P(n) : isoler clairement la propriété indexée par n avant de commencer.
Initialiser au bon rang : si la propriété est annoncée pour n\ge 1, on initialise en 1, pas en 0.
Faire apparaître l'hypothèse : dans l'hérédité, partir de l'expression au rang n+1 et y injecter l'hypothèse de récurrence (souvent par substitution ou minoration).
Pièges
Oublier l'initialisation : faute lourde. Une propriété héréditaire mais sans initialisation possible peut être toujours fausse (ex. « n=n+1 »).
Ne pas utiliser l'hypothèse dans l'hérédité : si l'hypothèse n'apparaît pas, ce n'est pas une vraie récurrence.
Confondre « supposer P(n) vraie pour un n » et « supposer P(n) vraie pour tout n » (cette dernière serait ce qu'on veut prouver).
Pour l'épreuve
La récurrence est un attendu majeur du programme de Terminale. Soigne les trois étapes nommées et rédige la conclusion. Dans l'hérédité, indique explicitement où tu utilises l'hypothèse de récurrence : c'est ce que le correcteur cherche en priorité.