Le cercle trigonométrique

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À un réel x on associe le point M obtenu en parcourant le cercle d'une longueur d'arc x depuis le point (1\ ;0). Par définition : M = (\cos x\ ;\sin x).

_Figure : le cercle trigonométrique, sens direct et coordonnées du point d'angle π/3._

Le radian est l'unité d'angle telle qu'un tour complet vaut 2\pi rad = 360^{\circ}. Conversion : d degrés = \dfrac{d}{180}\pi radians.

Comme M est sur le cercle de rayon 1 : pour tout réel x, \cos^{2}x + \sin^{2}x = 1.

Formules à connaître

Valeurs remarquables :

| x | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} | |-----|-----|-----|-----|-----|-----| | \cos x | 1 | \dfrac{\sqrt3}{2} | \dfrac{\sqrt2}{2} | \dfrac12 | 0 | | \sin x | 0 | \dfrac12 | \dfrac{\sqrt2}{2} | \dfrac{\sqrt3}{2} | 1 |

Parité : \cos(-x) = \cos x (paire), \sin(-x) = -\sin x (impaire).

Angles associés : \cos(\pi - x) = -\cos x, \quad \sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\pi + x) = -\cos x, \quad \sin(\pi + x) = -\sin x, \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, \quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, \quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x, \quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x.

Méthodes type bac

Calculer un cosinus / sinus connaissant l'autre. On utilise \cos^2 x + \sin^2 x = 1 pour obtenir le carré, puis on choisit le signe selon le quadrant (l'intervalle donné pour x).

Réduire une mesure. Pour la mesure principale, on ajoute ou retranche des 2\pi jusqu'à tomber dans ]-\pi\ ;\pi].

Retrouver une valeur via les angles associés. Exemple : \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) = \cos(\pi - \tfrac{\pi}{3}) = -\cos\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac12.

Pièges fréquents

  • Donner \sin x sans choisir le signe : il faut toujours discuter selon le quadrant.
  • Confondre degrés et radians (la calculatrice doit être en mode radian).
  • Confondre les formules \pi - x et \tfrac{\pi}{2} - x : la première garde le même type de fonction, la seconde échange \cos et \sin.
  • Écrire \cos^2 x = \cos x^2 : \cos^2 x signifie (\cos x)^2.

Pour l'épreuve

Le tableau des valeurs remarquables doit être mémorisé. La relation \cos^2 x + \sin^2 x = 1 et les angles associés permettent de calculer une infinité de valeurs à partir d'une poignée. Toujours s'aider d'un dessin rapide du cercle pour fixer les signes.