Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur \mathbb{R} vérifiant
f'=f \quad \text{et} \quad f(0)=1.
On la note \exp ou x\mapsto e^x, où e=\exp(1)\approx 2{,}718. Son existence et son unicité sont admises (l'unicité se démontre en classe).
Propriété fondamentale (relation fonctionnelle) : pour tous réels a et b,
e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}.
Cette relation est l'analogue, pour l'exponentielle, de la règle des puissances : additionner les exposants revient à multiplier les images. De cette unique propriété, combinée à e^0=1, se déduisent toutes les autres règles de calcul que l'on retrouve plus bas. Le nombre e est irrationnel, sa valeur approchée est 2{,}718 ; il joue pour l'exponentielle le rôle de base, exactement comme 10 pour les puissances de dix.
Signe : e^x>0 pour tout réel x (l'exponentielle ne s'annule jamais).
Dérivée : (e^x)'=e^x et, par composition, \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}.
Stricte croissance : e^a=e^b\iff a=b et e^a< e^b\iff a< b.
La stricte croissance est l'outil de résolution par excellence : comme la fonction exponentielle est injective et strictement monotone, on peut « passer aux exposants » sans changer le sens d'une inégalité. C'est ce qui permet de transformer une équation portant sur des exponentielles en une équation ordinaire sur les exposants.
Méthodes type bac
Résoudre une équation/inéquation exponentielle : utiliser la stricte croissance pour ramener à une (in)équation sur les exposants. Par exemple e^{3x-1}\ge e^{x+5}\iff 3x-1\ge x+5\iff x\ge 3.
Équation du second degré déguisée (e^{2x}+\beta e^x+\gamma=0) : poser X=e^x>0, résoudre l'équation du second degré en X, puis revenir par x=\ln X en ne conservant que les solutions X>0. Exemple : e^{2x}-3e^x+2=0 donne X=1 ou X=2, d'où x=0 ou x=\ln 2.
Démontrer une identité (e^x e^{-x}=1) : poser g(x)=e^x e^{-x}, montrer g'=0, en déduire que g est constante, puis calculer g(0)=1.
Simplifier une expression : tout regrouper sous une seule exponentielle grâce à e^a e^b=e^{a+b} et \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}.
Pièges fréquents
e^x est toujours strictement positif : une équation e^{x}=-2 n'a aucune solution, et lorsqu'on pose X=e^x on rejette les racines négatives ou nulles.
Ne pas confondre e^{a+b} (qui vaut e^a e^b) avec e^{ab} : ce sont deux quantités différentes.
\left(e^a\right)^n=e^{na}, et non e^{a^n}.
L'inverse e^{-a} vaut \dfrac{1}{e^a}, jamais -e^a : l'exponentielle ne devient pas négative.
Pour l'épreuve
La maîtrise des règles de calcul et de la stricte croissance est attendue automatiquement. Le réflexe « poser X=e^x>0 » pour une équation du second degré en e^x est un grand classique. Penser à toujours vérifier la condition de positivité avant de revenir à x, et à justifier le passage aux exposants par la stricte monotonie de \exp.