Le raisonnement par récurrence : un exemple expliqué pas à pas

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Ce chapitre détaille pas à pas la démonstration par récurrence d'une conjecture sur une suite récurrente u_{n+1}=f(u_n). La méthode se déroule en quatre temps.

1. Conjecturer : calculer u_0, u_1, u_2, u_3, repérer le motif, écrire une formule explicite candidate. 2. Initialiser : vérifier que la formule redonne le premier terme. 3. Poser l'hypothèse : « supposons u_n= (formule) pour un certain n\ge n_0 ». 4. Hérédité : transformer u_{n+1}=f(u_n) en y injectant l'hypothèse, jusqu'à reconnaître la formule au rang n+1.

Formules

Le geste central de l'hérédité est la substitution : dans u_{n+1}=f(u_n), on remplace u_n par la formule conjecturée. Exemple type : si u_{n+1}=3u_n-2 et u_n=3^n+1, alors u_{n+1}=3(3^n+1)-2=3^{n+1}+1.

Transformations d'exposants utiles : q\cdot q^n=q^{n+1} et q^n=\dfrac{1}{q}\,q^{n+1}. Par exemple \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.

Méthodes type bac

  • Conjecturer juste : si les termes sont 1, 2, 5, 10, penser à n^2+1. Tester la candidate sur tous les termes calculés.
  • Hérédité algébrique : développer prudemment, factoriser pour faire apparaître (n+1), regrouper les puissances.
  • Identités remarquables : (n+1)^2=n^2+2n+1 revient sans cesse dans ces hérédités.

Pièges

  • Ne pas vérifier la conjecture sur assez de termes : une formule peut coïncider sur u_0, u_1 mais échouer ensuite.
  • Oublier de réécrire la formule sous la forme du rang n+1 : il faut arriver exactement à « (formule) avec n+1 ».
  • Mal manipuler les exposants : grouper systématiquement, écrire \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} et jamais \dfrac{1}{2}^{n+1}.

Pour l'épreuve

Cet exercice « conjecture puis récurrence » est ultra-fréquent. Les points se gagnent surtout dans l'hérédité : montre clairement la substitution de l'hypothèse et la transformation finale. Une initialisation correcte et une conclusion explicite verrouillent le barème.