Les démonstrations de la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La dérivabilité de \sin et \cos repose sur une limite de référence admise (établie géométriquement par encadrement sur le cercle) : \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1. On en déduit une seconde limite : \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x} = 0.

À partir de ces deux limites et des formules d'addition, on démontre : \sin'(x) = \cos x, \qquad \cos'(x) = -\sin x.

Formules à connaître

  • \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 et \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x - 1}{x} = 0.
  • \sin(a + h) = \sin a\cos h + \cos a\sin h et \cos(a + h) = \cos a\cos h - \sin a\sin h.
  • Identité utile : \cos^2 x - 1 = -\sin^2 x.

Méthodes type bac

Dérivée de \sin en un réel a. On part du taux d'accroissement \dfrac{\sin(a+h) - \sin a}{h}, on développe avec la formule d'addition : \dfrac{\sin(a+h) - \sin a}{h} = \sin a \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos a \cdot \dfrac{\sin h}{h}. Quand h \to 0, on obtient \sin a \times 0 + \cos a \times 1 = \cos a.

Dérivée de \cos en un réel a. Même méthode : \dfrac{\cos(a+h) - \cos a}{h} = \cos a \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin a \cdot \dfrac{\sin h}{h} \to -\sin a.

Démontrer \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x - 1}{x} = 0. On multiplie par la quantité conjuguée \cos x + 1 : le numérateur devient \cos^2 x - 1 = -\sin^2 x, et l'on réutilise \dfrac{\sin x}{x} \to 1.

Voie alternative pour \cos'. Dériver \cos x = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) avec \big(\sin(u)\big)' = u'\cos(u) donne \cos'(x) = -\sin x.

Pièges fréquents

  • Affirmer « \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{0}{0} donc indéterminé » sans utiliser le résultat de référence (la limite vaut 1).
  • Confondre le rôle des deux limites : c'est \dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0 qui fait disparaître le terme en \sin a (pour \sin') ou en \cos a (pour \cos').
  • Oublier le signe dans la formule d'addition de \cos (un moins devant \sin a\sin h).
  • Confondre nombre dérivé en 0 et fonction dérivée : \sin'(0) = 1 est un cas particulier de \sin' = \cos.

Pour l'épreuve

Cette démonstration est un classique attendu en restitution. Retenir le plan : taux d'accroissement, formule d'addition, factorisation faisant apparaître \dfrac{\cos h - 1}{h} et \dfrac{\sin h}{h}, passage à la limite. La vérification en a = 0 et a = \dfrac{\pi}{2} montre la cohérence avec la lecture graphique (tangente horizontale au sommet, pente -1 au passage par zéro).