Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Ce chapitre etablit rigoureusement le lien entre la caracterisation vectorielle d'un plan et son equation cartesienne. Le point de depart est le theoreme : le plan passant par A et de vecteur normal \vec{n} non nul est l'ensemble des points M tels que \vec{AM}\cdot\vec{n}=0.
Le sens direct consiste a developper cette condition. Avec \vec{n}\,(a\,;b\,;c) et A\,(x_A\,;y_A\,;z_A), on a \vec{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0, ce qui s'ecrit ax+by+cz+d=0 en posant d=-(ax_A+by_A+cz_A). La condition \vec{n}\neq\vec{0} garantit (a,b,c)\neq(0,0,0).
La reciproque montre que toute equation ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)\neq(0,0,0) definit un plan : on exhibe un point particulier (par exemple en annulant deux variables), puis on verifie que la condition equivaut a \vec{AM}\cdot\vec{n}=0.
Demontrer le sens direct. Developper \vec{AM}\cdot\vec{n}=0 et identifier a, b, c, d.
Demontrer la reciproque. Trouver un point du plan, puis ecrire la condition sous la forme \vec{AM}\cdot\vec{n}=0.
Determiner un plan mediateur. L'ensemble des points equidistants de A et B passe par le milieu de [AB] avec normal \vec{AB}.
Reprenons le sens direct sur un cas concret. Le plan passe par A\,(1\,;2\,;3) de normal \vec{n}\,(2\,;-1\,;1). La condition \vec{AM}\cdot\vec{n}=0 s'ecrit 2(x-1)-(y-2)+(z-3)=0, soit 2x-y+z-3=0 apres developpement (ici d=-(2-2+3)=-3). On retrouve bien la forme ax+by+cz+d=0. La reciproque part de cette equation, fixe un point comme \left(\dfrac{3}{2}\,;0\,;0\right), et reconstruit la condition \vec{AM}\cdot\vec{n}=0. Savoir derouler ces deux implications proprement, avec l'hypothese \vec{n}\neq\vec{0}, est exactement ce qui est attendu dans une question de demonstration.
Ces demonstrations sont au programme et peuvent etre exigees telles quelles. Maitrise le passage \vec{AM}\cdot\vec{n}=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0 dans les deux sens, c'est le coeur du chapitre. Le plan mediateur est une application classique : equidistance, milieu, normal \vec{AB}. Soigne la redaction des equivalences et n'oublie jamais de mentionner la condition \vec{n}\neq\vec{0}. Pour conclure, ces demonstrations de cours sont parmi les rares qui peuvent etre demandees telles quelles a l'examen, ce qui en fait un investissement rentable. L'essentiel est de comprendre que l'equation cartesienne n'est rien d'autre que la traduction en coordonnees d'une condition d'orthogonalite. En gardant ce fil conducteur, tu reconstruis le resultat meme si tu en as oublie le detail, ce qui est la marque d'une comprehension solide.