Lever une forme indéterminée

Formules

Outils de factorisation :

• x^2-a^2=(x-a)(x+a).
• Trinôme : ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) (racines x_1,x_2).
• Conjugué : \sqrt a-\sqrt b=\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}.
• Sortir x d'une racine (x>0) : \sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\dfrac1x}.

Méthodes type bac

• FI \dfrac{0}{0} en un réel a : numérateur et dénominateur s'annulent en a, donc factorisables par (x-a) ; simplifier puis évaluer.
• FI avec racine : multiplier par le conjugué.
• FI \dfrac{\infty}{\infty} ou \infty-\infty en l'infini : terme dominant (polynômes) ou conjugué (racines).

Pièges

• Après simplification de (x-a), le nouveau quotient est défini en a : on peut alors remplacer x par a.
• Bien identifier la FI avant de choisir l'outil (\dfrac{0}{0} près d'un point réel \ne \dfrac{\infty}{\infty} en l'infini).
• Le conjugué multiplie numérateur et dénominateur : ne pas oublier le dénominateur.

Exemple complet du conjugué. Pour \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} (forme \dfrac{0}{0}), on multiplie haut et bas par \sqrt{x+4}+2 : le numérateur devient (x+4)-4=x, d'où \dfrac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}. En x=0, cela vaut \dfrac{1}{\sqrt 4+2}=\dfrac{1}{4}. Le conjugué a transformé la différence de racines en un facteur x qui se simplifie avec le dénominateur.

Pour l'épreuve

Les FI \dfrac{0}{0} par factorisation (souvent \dfrac{x^2-a^2}{x-a} ou un trinôme) et le conjugué pour les racines sont les deux techniques attendues sur les limites en un point. Annonce la FI, choisis l'outil, simplifie, évalue : la démarche doit être visible dans la copie. Distingue bien la FI en un point réel (factoriser/conjuguer) de la FI en l'infini (terme dominant) : le même symbole \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty} n'appelle pas le même outil selon le point d'étude.