Lever une forme indéterminée

Formules

• Factorisation par le terme dominant (FI \dfrac{\infty}{\infty}) : pour \dfrac{P(n)}{Q(n)}, factoriser par n^{\deg P} et n^{\deg Q}.
• Règle des degrés pour un quotient de polynômes : si \deg P=\deg Q, limite = rapport des coefficients dominants ; si \deg P>\deg Q, limite \pm\infty ; si \deg P<\deg Q, limite 0.
• Expression conjuguée (FI \infty-\infty avec racines) : \sqrt a-\sqrt b=\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}.
• Sortir n d'une racine (n>0) : \sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\dfrac1n}.

Méthodes type bac

• Quotient de polynômes : annoncer la FI, factoriser par le terme dominant, simplifier, conclure.
• Différence de racines : multiplier par le conjugué, simplifier le numérateur, factoriser le dénominateur par n.
• Polynôme seul : factoriser par le monôme de plus haut degré.

Exemple du conjugué. Pour u_n=\sqrt{n^2+n}-n, on est en présence de la FI \infty-\infty. On multiplie par l'expression conjuguée : u_n=\dfrac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}. Pour n>0, \sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac1n}, donc u_n=\dfrac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\dfrac{1}{\sqrt 1+1}=\dfrac{1}{2}. La différence de racines a été transformée en un quotient parfaitement calculable.

Pièges

• Ne jamais conclure « \dfrac{\infty}{\infty}=1 » ni « \infty-\infty=0 » : ce sont des FI.
• \dfrac{\sqrt n}{n}=\dfrac{1}{\sqrt n} (et non \dfrac{1}{n}) : attention aux exposants fractionnaires.
• Le conjugué se choisit pour faire disparaître la différence de racines, pas au hasard.

Pour l'épreuve

Identifie d'abord la FI à voix haute dans ta copie, puis applique l'outil adapté : factorisation pour les quotients/polynômes, conjugué pour les différences de racines. La FI \infty-\infty avec une racine carrée est un grand classique : la technique du conjugué doit être un réflexe.