Limite d'une fonction composée

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le théorème de composition des limites permet de calculer la limite de g(f(x)).

> Si \lim\limits_{x\to a} f(x)=b et \lim\limits_{X\to b} g(X)=\ell, alors \lim\limits_{x\to a} g(f(x))=\ell.

Ici a, b, \ell peuvent être finis ou infinis. L'idée : on pose X=f(x) (la limite interne), puis on étudie g(X) (la limite externe).

Formules

  • Racine : \lim\sqrt{u(x)}=\sqrt{\lim u} si \lim u=\ell\ge 0 fini ; =+\infty si \lim u=+\infty.
  • Inverse : \lim\dfrac{1}{u(x)}=0 si u\to\pm\infty ; =+\infty si u\to 0^+.
  • Continuité : si g continue en b=\lim f, alors \lim g(f(x))=g(b).

Méthodes type bac

  • Changement de variable : poser X=f(x), déterminer \lim X, puis \lim g(X).
  • Décomposer une fonction emboîtée : identifier la fonction interne et la fonction externe.
  • Limite interne d'abord : toujours commencer par la quantité à l'intérieur.

Pièges

  • Ne pas inverser interne et externe : calculer \lim f avant d'appliquer g.
  • Vérifier que la valeur limite interne b est dans le domaine de g (ex. \sqrt{\cdot} exige une limite interne \ge 0).
  • Pour la racine, \sqrt{\cdot} d'une limite interne \to+\infty donne +\infty, pas une FI.

Exemple complet. Pour \lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x}} : on pose X=\dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x}. La limite interne est \lim X=2. La fonction externe \sqrt{\cdot} étant continue en 2, on entre la limite : \lim\sqrt X=\sqrt 2. Autre exemple : \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2+1} se traite avec X=x^2+1\to+\infty, puis \dfrac{1}{X}\to 0. La méthode sépare nettement le « dedans » et le « dehors » de la composée.

Pour l'épreuve

La technique du changement de variable « je pose X=f(x) » structure proprement le calcul. Pour les fonctions \sqrt{u}, \dfrac{1}{u} et plus tard e^u ou \ln u, ce théorème est l'outil central : calcule la limite interne, applique la fonction externe, conclus. Vérifie toujours que la valeur limite interne appartient bien au domaine de la fonction externe avant de conclure.